Доверительный интервал. Точность и надежность оценки

Здесь - статистика, т. е. функция выборочных элементов. Если известны и у, то легко построить доверительный интервал для с помощью ее точечной оценки . Действительно,

Тогда , и мы от соотношения в определении 3.10 приходим к соотноше­нию в определении (3.9). Как находить , строить доверительный интервал ( ) в конкретных случаях будет рассмотрено в следующих параграфах. Эти вопросы будут рассмот­рены для практически наиболее важных случаев оценивания: вероятности собы­тия р, математического ожидания m и среднего квадратического отклонения .

13. Доверительная вероятность

14. Построение доверительного интервала для математического ожидания при известном и неизвестном среднем квадратическом отклонении

Доверительный интервал для математического ожидания m нормальной генеральной совокупности

Известно [10], что для выборки объема n из нормальной генеральной сово­купности случайная величина распределена по закону Стьюдента с n-1 степенями свободы. Таблица квантилей распределения Стьюдента - таблица III приложения.) Здесь s - выборочное среднее квадратическое отклонение. Так как плотность этого распределения - функция четная, то получаем

Здесь - функция распределения закона Стьюдента с n -1 степенями свободы. Отсюда находим

Полагаем 2F_n-1(x)-1= . Тогда

По таблице квантилей распределения Стьюдента с n-1 степенями свободы на­ходим квантиль порядка (1 + )/2

и получаем искомый доверительный интервал для m:

Доверительный интервал для математического ожидания m любой генеральной совокупности при большом объеме выборки

Выборочное среднее является суммой большого числа независимых одинаково распределённых слагаемых. В силу центральной предельной теоремы при большом объеме выборки (n>30) случайная величина - распределена приблизительно нормально N(0,1). В результате преобразований доверительный интервал для m с надёжностью имеет вид:

Здесь - квантиль нормального распределения N(0,1) порядка (1+ )/2.

3.11. Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения любой генеральной совокупности при большом объеме выборкиВыборочная дисперсия является суммой большого числа практически независимых одинаково распределенных слагаемых (имеется одна связь: . В силу центральной предельной теоремы случайная величина распределена приблизительно нормально N(0,1). В результате ряда преобразований доверительный интервал для с доверительной вероятностью имеет вид:

Здесь -безразмерная выборочная числовая характеристика , называемая выборочным эксцессом. - выборочный 4-й центральный момент.

15. Построение доверительного интервала для дисперсии.

Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения нормальной генеральной совокупности

Известно [10], что для выборки объема n из нормальной генеральной сово­купности случайная величина распределена по закону (хи-квадрат) с n -1 степенями свободы. Зада­димся доверительной вероятностью и по таблице IV приложения найдем квантили и распределения хи-квадрат с n-1 сте­пенями свободы соответственно порядков (1- )/2 и (1 + )/2. Это значит, что для случайной величины имеют место соответствующие соотношения, позволяющие окончательно получить:

что и дает доверительный интервал для генерального среднего квадратического отклонения с доверительной вероятностью .

Любой доверительный интервал можно построить неодно­значно. Всегда применяется какой-нибудь дополнительный принцип его по­строения. При построении этого доверительного интервала исходили из принци­па, что вероятности попадания в промежутки левее доверительного интер­вала и правее его равны между собой.

16. Общая постановка задачи проверки гипотез.

Определение 4.1. Статистической гипотезой называется предпо­ложение о виде или

свойствах генерального или выборочного распределений, которое можно проверить статистическими методами на основе имею­щейся выборки.

Определение 4.2. Статистическая гипотеза о генеральном распределе­нии называется

простой, если она его полностью определяет. В против­ном случае гипотеза называется