Расчет показателей вибропрочности конструкций

Функциональные узлы ПА (модули I структурного уровня конструкции) представляют собой планарные конструкции, состоящие из монтажного основания и смонтированных на нем электрорадиокомпонентов и деталей. Поэтому основной расчетной моделью узлов является прямоугольная пластина при определенном закреплении сторон [55,7,21,43].

Расчет частоты свободных колебаний прямоугольных пластин производится на основе следующих допущений:

- изгибные деформации пластины при вибрации по сравнению с ее толщиной малы, упругие деформации подчиняются закону Гука ;

- пластина имеет постоянную толщину, нейтральный слой пластины не подвержен деформациям растяжения-сжатия;

- материал пластины идеально упругий, однородный и изотропный;

- все прямые, нормальные к поверхности нейтрального слоя до деформации, остаются прямыми и нормальными к ней после деформации.

Дифференциальное уравнение свободных незатухающих колебаний пластины имеет вид

, (5.6)

где - виброперемещение пластины, определяемое в точке с координатами x,y; m - масса пластины; - жесткость пластины на изгиб (цилиндрическая жесткость); Е, - соответственно модуль упругости и коэффициент Пуассона материала; h - толщина пластины.

Точное решение уравнения (5.6) получено для свободных колебаний прямоугольных однородных пластин, две противоположные стороны которых свободно опираются, при любом закреплении двух других сторон.

В случае свободного опирания всех сторон частота свободных колебаний пластины может быть найдена по формуле

,

где i, j - число полуволн синусоиды, укладывающихся вдоль сторон пластины; a, b - размеры сторон; - плотность материала пластины.

Реальные конструкции функциональных узлов, приводимые к расчетным моделям пластины, по основным параметрам не соответствуют требованиям однородной пластины, а разновидность внутренних структур конструкций ПА ведет к многообразию краевых условий пластин. Поэтому для расчета частоты свободных колебаний функциональных узлов, как правило, используются соотношения, полученные в результате приближенного решения уравнения (5.6) по методу Рэлея или по методу Ритца.

Согласно методу Рэлея частота свободных колебаний определяется в результате сопоставления выражений для кинетической и потенциальной энергий колебаний системы. Метод позволяет учесть нагружение платы функционального узла установленными на ней компонентами и получить соотношение для расчета частоты свободных колебаний пластины, справедливое при любых краевых условиях. Формула Рэлея, позволяющая найти частоту свободных колебании основного тона нагруженной пластины имеет вид

, (5.7)

где - коэффициент, характеризующий зависимость частоты свободных колебаний пластины от краевых условий; а - большая сторона пластины; - приведенные к площади пластины массы компонентов и самой пластины.

Коэффициент вычисляется через отношение сторон пластины C= a /b. Формулы для расчета приведены в табл. 5.1. На схемах закрепления пунктирной линией обозначено свободное опирание стороны пластины, штриховкой - жесткое закрепление.

Выражение (5.7) обеспечивает удовлетворительную точность лишь при расчете частоты свободных колебаний основного тона. С ростом номера тона точность результатов расчета существенно снижается.

С помощью метода Ритца, являющегося развитием метода Рэлея, получены формулы расчета частот свободных колебаний пластины на основном тоне и обертонах для различных краевых условий. Широкое применение находит формула

, (5.8)

где - коэффициент, зависящий от способа закрепления пластины, соотношения ее сторон и номера тона колебаний; т - масса пластины, приведенная к площади; - коэффициент, учитывающий нагрузку пластины размещенными на ней компонентами.

Значение находят в результате решения дифференциального уравнения колебания прямоугольной пластины при заданных краевых условиях. Для определенных комбинаций краевых условий и отношений сторон пластины табулирован.

Для упрощения процедуры расчета круговой частоты свободных колебаний пластины основного тона формула (5.8) преобразуется:

(Гц), (5.9)

где - частотная постоянная; а - большая сторона пластины, мм; - поправочный коэффициент на материал пластины; - модули упругости материала пластины и стали; - их плотности; – поправочный коэффициент на нагружение пластины равномерно размещенными на ней элементами; - масса элемента; – масса пластины.

Значения частотной постоянной С для некоторых схем закрепления пластины приведены в табл.5.2.

Построение расчетных моделей функциональных узлов производится на основе анализа реальных конструкций и выявления характерных особенностей, оказывающих существенное влияние на динамические процессы при вибрации. Примеры моделирования некоторых конструкций функциональных узлов приведены на рис. 5.3, 5.4 и 5.5.

Узел, выполненный на печатной плате, закрепляемой в четырех точках по углам (рис. 5.3,а), представляется расчетной моделью пластины, равномерно нагруженной радиокомпонентами, со свободным опиранием со всех сторон (рис. 5.3,б). Принятый способ закрепления обосновывается тем, что при изгибных колебаниях основного тона на каждой стороне пластины укладывается полуволна, узлы перемещения совпадают с точками крепления платы. Поэтому наличие точек закрепления не сказывается на параметрах колебаний.

Расчетной моделью узла на печатной плате с размерами сторон a и b, закрепленной в шести точках по контуру (рис. 5.4,а), служит прямоугольная пластина с размерами сторон а/2 и b, свободно опирающаяся по контуру, с равномерно распределенной нагрузкой (рис. 5.4,б). Основной тон свободных колебаний определяется полуволной, укладывающейся вдоль сторон а/2 и b пластины.

Конструкция функционального узла разъемного типа (рис. 5.5,а) может быть представлена расчетной моделью в виде нагруженной прямоугольной пластины 1 с жестким закреплением двух сторон, на которых установлены контрольная колодка 3 (или планка для удобства установки узла в блоке и извлечения его) и электрический соединитель (разъем) 2, и свободным опиранием двух других сторон (рис. 5.5,б). Принятая схема закрепления обосновывается тем, что элементы 2 и 3 конструкции по сравнению с печатной платой имеют значительно большую жесткость на изгиб, а зазор между внутренними поверхностями направляющих (с помощью которых плата устанавливается в блоке) и краями платы сравним с толщиной печатной платы.

Каркасные конструкции функциональных узлов (печатная плата закреплена в рамке по контуру) в первом приближении можно моделировать пластиной с жестким закреплением всех сторон. Построение более точных расчетных моделей таких конструкций заключается в следующем.

Частота свободных колебаний основного тона конструкций печатных плат, усиленных ребрами жесткости, рамками, обечайками и другими элементами жесткости, может быть найдена по формуле Рэлея (5.7).

Применение формулы (5.7) предполагает переход от сложной конструкции узла к модели эквивалентной прямоугольной пластина с параметрами а, D и .

Жесткость эквивалентной пластины на изгиб находится как , где - цилиндрическая жесткость платы и рамки на изгиб соответственно.

Расчет цилиндрической жесткости производится по формуле

, (5.10)

где E - модуль упругости материала платы; J - момент инерции сечения платы в плоскости изгиба; b - ширина сечения; - коэффициент Пуассона для материала платы.

Таблица 5.1 Определение коэффициента

№ схемы	Схема закрепления	Формула расчета
2
3
4
5
6

Таблица 5.2

Значения частотной постоянной

№ схемы закрепления пластины по табл.5.1	Значения частотной постоянной
	23,1	23,8	28,6	45,8	74,4	114.5	166,0	228,9	389,3
	52,0	52,4	55.3	67,3	90,9	127,6	176,9	238,8	396,7
	52,1	52,5	56,2	74,1	102,5	170,6	248,5	345,1	592,8
	52,1	52,6	57,2	83,8	141,4	228,6	343,7	485,4	847,6
	23,2	23,9	32,1	67,6,	131,1	221,4	337,9	480,9	843.6
	35,9	36,7	42,2	74,1	135.4	224,6	340,6	482,8	845,8

Значение можно найти также с помощью (5.10), если подставить в формулу момент инерции сечения рамки. Ввиду того, что сечение рамки или других элементов жесткости узла имеет сложную конфигурацию, момент инерции сечения определяется как сумма осевых и центробежных моментов элементарных сечений правильной геометрической формы, на которые разбивается исходное сечение:

,

где - осевой и центробежный моменты i-го элементарного сечения соответственно; - площадь этого сечения; - расстояния в плоскости изгиба сечения между центрами тяжести I -го элементарного сечения и сечения рамки. Определение момента инерции сечения рамки иллюстрируется с помощью рис.5.6. Соотношения для расчета осевых моментов инерции сечений простейших геометрических форм и координат центра тяжести приведены в табл.5.3.

При выборе сечения рамки необходимо исходить из принципа наихудшего случая: жесткость конструкции на изгиб в сечении должна быть минимальной, что позволит найти самую низкую частоту свободных колебаний конструкции узла.

Коэффициент , входящий в формулу (5.10), в случае закрепления пластины в четырех или шести точках по периметру, может быть найден по формуле:

,

где а, b - длина и ширина пластины.

Пример расчета частоты свободных колебаний монтажной платы приведен в Прил. 7.

Таблица 5.3 К расчету осевых моментов инерции рамки

Форма сечения	Расчетное соотношение
	При