ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ И ГРАДИЕНТ

ТЕОРИЯ ПОЛЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к решению задач и выполнению

расчетно-графической работы по дисциплине «Математика»

для студентов-заочников всех специальностей и направлений

Уфа 2004

УДК 517.3

Составители: Елисеев И.С., Сафиуллина Ф.Г., Сысоев С.Е.,

Халфина Э.Х.

Теория поля: Методические указания к решению задач и выполнению расчетно-графической работы по дисциплине «Математика» для студентов-заочников всех специальностей и направлений /Сост. И.С. Елисеев, Ф.Г. Сафиуллина, С.Е. Сысоев, Э.Х. Халфина. /Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т. Уфа, 2004, 35 с.

Рассматриваются основные понятия, положения и приложения математической теории поля, что способствует развитию у студентов кругозора в области геометрических представлений, связанных с теорией поля, уяснению тесной взаимосвязи между физическими объектами теории поля и соответствующими математическими понятиями и структурами, относящимися к определенным, кратным и криволинейным интегралам и дифференциальным уравнениям.

Применение теоретических положений и математического описания физических объектов разъясняется на примерах различной степени сложности, что способствует формированию умений и навыков в приложении математической теории для решения практических физических задач.

Предназначены для студентов и лиц, занимающихся самообразованием, изучающих спецглавы математики, включающие математическую теорию поля.

В методические указания включены 30 вариантов индивидуальных заданий.

Ил. 6. Библиогр.: 4 наимен.

Рецензенты: доцент А.В. Рабчук;

доцент Л.М. Никульшина.

Составители: ЕЛИСЕЕВ Игорь Спартакович

Содержание

1. Скалярное поле. Производная по направлению и градиент 4

2. Векторное поле. Векторные линии 6

3. Поток векторного поля 8

4. Формула Остроградского. Дивергенция векторного поля 11

5. Линейный интеграл и циркуляция векторного поля 15

6. Ротор векторного поля. Формула Стокса 17

7. Потенциальное векторное поле. Вычисление линейного

интеграла в потенциальном поле 20

8. Варианты заданий 23

Список литературы 35

1 СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ.

ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ. ВЕКТОРНЫЕ ЛИНИИ

Если в каждой точке пространственной области задан определенный вектор то говорят, что в этой области задано векторное поле. Векторное поле задается тремя скалярными функциями , являющимися проекциями вектора на координатные оси декартовой системы:

.

Примерами векторных полей могут служить поле электрической напряженности, силовое поле, поле скоростей текущей жидкости и др. Векторное поле тоже может быть плоским, например,

.

Векторной линией поля называется такая линия, касательная в каждой точке которой направлена вдоль заданного в этой точке вектора поля (рисунок 1).

Рисунок 1

Всякое векторное поле обладает семейством векторных линий. Уравнения этого семейства есть общее решение дифференциальных уравнений вида

. (4)

Задача 2. Для плоского поля найти уравнения семейства векторных линий и векторной линии, проходящей через точку

Решение. Так как то, согласно равенству (4), уравнение семейства одно и определяется общим решением дифференциального уравнения

.

Это уравнение линейное относительно как функции от . Решая его методом вариации произвольной постоянной, получим общее решение в виде

.

Выделим из этого семейства одно решение то, которое представляет собой уравнение векторной линии, проходящей через точку . Подставив в общее решение получим Итак, искомая векторная линия

ПОТОК ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ

Пусть в поле вектора задана ориентированная поверхность . Обозначим через единичный вектор нормали к выбранной стороне поверхности в ее произвольной точке. Поверхностный интеграл первого рода по поверхности от скалярного произведения вектора на вектор

(5)

называется потоком векторного поля через ориентированную поверхность и обозначается . В случае замкнутой поверхности поток записывается в виде

.

Если ввести в рассмотрение вектор и обозначить его проекции на оси координат то формулу (5) можно переписать в виде

(6)

где вектор направлен по нормали к выбранной стороне поверхности . Правая часть равенства (6) является поверхностным интегралом второго рода.

Если, например, – поле скоростей текущей жидкости в области и – незамкнутая поверхность с выбранным направлением нормали , то равен количеству жидкости, проходящей в единицу времени через поверхность в направлении . Если – замкнутая поверхность, ограничивающая некоторую область с внешней нормалью , то равен разности количеств втекающей в эту область жидкости и вытекающей. Когда это означает, что в области имеются источники (где векторные линии порождаются), а если то это указывает на наличие в области стоков (где векторные линии заканчиваются).

Если ориентированная поверхность задана явно непрерывно дифференцируемой функцией то по формуле (6) можно получить следующую формулу, связывающую поверхностный интеграл по поверхности с двойным интегралом по проекции этой поверхности на плоскость :

(7)

где знак плюс берется, когда интегрирование в левой части ведется по стороне положительно ориентированной по отношению к оси - вектор нормали к ориентированной поверхности. Запись означает, что в произведении переменную следует заменить на

Если поверхность задана явно уравнением или то соответственно меняются роли переменных в формуле (7).

Замечание.Если поверхность задана уравнением которое неоднозначно разрешается относительно одной из переменных и, следовательно, поверхность неоднозначно проецируется на соответствующую координатную плоскость (например - цилиндрическая поверхность неоднозначно проецирующаяся на плоскость ), ее следует разбить на части, однозначно проецирующиеся на координатную плоскость.

Задача 3. Вычислить поток вектора через нижнюю сторону поверхности , отсеченной плоскостью (рисунок 2).

Рисунок 2

Решение. Учитывая, что имеет различный знак для правой и левой части поверхности , а – сохраняет отрицательный знак для всей поверхности, будем иметь

где – правая часть поверхности (нормаль к ней составляет с острый угол), – левая часть поверхности. Первые два слагаемых уничтожаются, так как и имеют одинаковую проекцию на Окончательно имеем :

где – проекция на имеет форму круга с границей . Поэтому, переходя к полярным координатам, получим

4 ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО.

ДИВЕРГЕНЦИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ

Если функции дифференцируемы в замкнутой области , ограниченной кусочно-гладкой поверхностью , то имеет место формула Остроградского

(8)

где выбрана внешняя сторона поверхности

Дивергенцией векторного поля в точке называется предел отношения потока поля через замкнутую поверхность , окружающую точку к объему тела, ограниченного этой поверхностью, при стремлении диаметра тела к нулю:

.

По знаку дивергенции можно судить о наличии источника или стока векторного поля в точке . Так, если то в точке - источник, а если то сток. Если то в точке нет ни источника, ни стока. Абсолютная величина характеризует мощность источника или стока в точке .

Для дифференцируемых и в области существует

(9)

в любой точке

Тогда формула Остроградского в векторной форме имеет вид

. (10)

Векторное поле называется соленоидальным в области , если его дивергенция равна нулю в каждой точке области . Для соленоидального поля характерно, что в отсутствуют источники и стоки, а для любой замкнутой поверхности .

Задача 4.Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность, состоящую из частей и в направлении внешней нормали (рисунок 3)

Рисунок 3

Решение. Поле дифференцируемо во всем пространстве поэтому по формуле (9) получим

и по формуле (10)

Интеграл удобно вычислять в цилиндрических координатах

Замечание. Если поверхность незамкнутая, то иногда использование формулы Остроградского в равенстве

где - еще одна поверхность, замыкающая область , может оказаться целесообразнее, чем вычисление поверхностного интеграла по поверхности

Задача 5. Вычислить поток вектора через внешнюю сторону части сферы , которая вырезана конической поверхностью (рисунок 4).

Рисунок 4

Решение. Линия пересечения сферы с конусом лежит в плоскости поэтому дополним часть сферы еще этой плоскостью и получим замкнутую поверхность. Тогда поток через часть сферы будет получен интегралами (замечание)

где - нижняя сторона части плоскости имеющая форму круга с границей Вычислим

Здесь - проекция круга из плоскости на плоскость

ЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ

И ЦИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ

Пусть в области задано непрерывное векторное поле и ориентированная гладкая кривая (с заданным направлением обхода). Обозначим единичный вектор касательной к линии через , направление которого совпадает с выбранным направлением на линии.

Линейным интегралом векторного поля вдоль линии называется криволинейный интеграл первого рода от скалярного произведения векторов и :

(11)

где - дифференциал дуги кривой.

Если ввести в рассмотрение вектор ( - радиус вектор точки, описывающей линию ) и обозначить его проекции на координатные оси , то формулу (11) можно записать в виде

(12)

где вектор направлен по касательной к . Правая часть равенства (12) является криволинейным интегралом второго рода (криволинейный интеграл по координатам).

Если -силовое поле, то линейный интеграл равен работе, которую поле совершает по перемещению материальной точки вдоль ориентированной линии .

Для вычисления криволинейного интеграла второго рода, если кривая задана параметрическими уравнениями и при перемещении точки от до параметр меняется от до (выполнение условия не обязательно), используется переход к определенному интегралу:

(13)

Линейный интеграл называется циркуляцией векторного поля , если - замкнутая линия. Тогда из двух возможных направлений обхода контура условимся называть положительным то, при котором область, лежащая внутри плоского контура остается слева по отношению к точке, совершающей обход (рисунок 5)

Рисунок 5

Если - замкнутая пространственная кривая, то ее направление обхода специально оговаривается.

Задача 6.Вычислить циркуляцию поля вектора по замкнутой линии , состоящей из одного витка винтовой линии от точки до точки и прямолинейного отрезка .

Решение. Виток соответствует изменению параметра в уравнениях кривой от до . Прямая имеет направляющий вектор , поэтому ее параметрические уравнения будут , где изменяется от до . Вычислим циркуляцию по формулам (12) и (13)

ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА

В ПОТЕНЦИАЛЬНОМ ПОЛЕ

Векторное поле , заданное в области , называется потенциальным, если в области существует такая скалярная функция , что вектор можно представить в виде градиента этой функции:

. (17)

Функция называется потенциальной функцией или потенциалом векторного поля. Из формулы (3.17) следует , что

и

т. е. - есть полный дифференциал потенциала этого поля. Критерием потенциальностивекторного поля служит равенство

(18)

Следовательно, для того чтобы векторное поле было потенциальным необходимо и достаточно, чтобы оно было безвихревым.

Выполнение условия (18) в области приводит не только к потенциальности векторного поля, но и к следующим результатам:

а) в области существует потенциал который может быть определен с точностью до постоянной по формуле

(19)

где - любая фиксированная точка; - переменная точка в области - произвольная постоянная. Во втором интеграле формулы (19) постоянно а в третьем - и

б) циркуляция векторного поля по любому замкнутому контуру равна нулю:

Если же хотя бы в одной точке, внутренней по отношению к контуру поле не определено, циркуляция по этому контуру может и не обратиться в нуль, хотя поле потенциально;

в) для любых двух точек и области значение линейного интеграла векторного поля

не зависит от формы кривой соединяющей точки и и расположенной в , а зависит только от положения точек и в области ;

г) линейный интеграл этого поля вдоль любого контура соединяющего точки и равен разности значений потенциала в конечной и начальной точках контура:

. (20)

Физический смысл этого результата: если - силовое поле, то разность потенциалов между точками и равна работе, которую поле совершает при перемещении материальной точки из в .

Задача 8.Доказать, что поле вектора

является потенциальным. Найти его потенциал и вычислить линейный интеграл поля от точки до точки .

Решение. Так как поле определено и дифференцируемо в любой точке пространства и (проверьте самостоятельно), то данное поле потенциально. Найдем потенциал поля по формуле (19), взяв в качестве точки начало координат:

Линейный интеграл вычислим по формуле (20)

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

Первые три задачи каждого варианта необходимо решить при следующих условиях:

1. Найти работу векторного поля вдоль заданной кривой .

2. Пользуясь формулой Остроградского-Гаусса, вычислить поток вектора через ориентированную поверхность

3. Пользуясь формулой Стокса, найти циркуляцию вектора по контуру в положительном направлении относительно вектора .

Вариант № 1

1.

2. ; - внешняя сторона боковой поверхности конуса

3. ; .

4.Показать, что поле вектора потенциально, найти его потенциал.

Вариант № 2

1. от до

2. ; - внешняя сторона части параболоида отсеченного плоскостью

3. ;

4. Вычислить ротор векторного поля где - постоянный вектор,

Вариант № 3

1. ;

2. - внешняя сторона полусферы

3. ; - контур, образованный пересечением плоскости с координатными плоскостями; .

4. Найти производную скалярного поля в точке в направлении градиента поля в точке .

Вариант № 4

1. от точки до

2. ; - внешняя сторона части поверхности параболоида

3. ; - контур треугольника

4. Вычислить дивергенцию векторного поля где и - постоянные векторы, а

Вариант № 5

1. ; отрезок прямой от точки до точки

2. ; внешняя сторона поверхности цилиндра , ограниченного плоскостями и

3. ; - линия пересечения цилиндра с плоскостью

4. Вычислить дивергенцию поля где

Вариант № 6

1. .

2. ; внешняя сторона боковой поверхности пирамиды, ограниченной плоскостями

3. ;

4. Найти ротор векторного поля

Вариант № 7

1. ; от точки до точки

2. внешняя сторона части сферы отсеченной плоскостью

3. ;

4. Вычислить дивергенцию векторного поля где

Вариант № 8

1. ; контур треугольника

2. ; внешняя сторона боковой поверхности пирамиды, ограниченной плоскостями

3. ;

4. Проверить, является ли соленоидальным векторное поле

Вариант № 9

1. ; контур

2. ; внешняя сторона полусферы

3. ;

4. Является ли поле, образованное вектором

потенциальным?

Вариант № 10

1. ; от до

2. ; внешняя сторона боковой поверхности цилиндра ограниченного плоскостями

3. ;

4. Доказать, что поле вектора потенциально и найти его потенциал.

Вариант № 11

1. ; первая арка кривой

2. ; внешняя сторона цилиндрической поверхности ограниченной плоскостями

3.

4. Найти дивергенцию поля где

Вариант № 12

1. от до .

2. ; внешняя сторона поверхности конуса

3.

4. Найти производную функции в точке (2;1) в направлении, идущем от этой точки к началу координат.

Вариант № 13

1. ;