РОТОР ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ. ФОРМУЛА СТОКСА

Если векторное поле имеет дифференцируемые в точке составляющие то ротором (или вихрем) векторного поля в точке называется вектор

где частные производные вычислены в этой точке.

В символической форме имеет вид:

. (14)

Векторное поле называется безвихревым в области , если в каждой ее точке

Если дифференцируемы в области и в этой области расположен некоторый замкнутый контур то для любой незамкнутой поверхности , опирающейся на контур имеет место формула Стокса.

(15)

где на берется та сторона, в точках которой вектор нормали направлен так, чтобы видимый с его конца обход контура совершался против часовой стрелки (ориентация поверхности согласована с обходом контура).

Формула Стокса позволяет свести вычисление циркуляции векторного поля по контуру к вычислению потока поля через незамкнутую поверхность , опирающуюся на контур ( - граница незамкнутой поверхности ). Заметим, что - любая поверхность, имеющая границей контур поэтому возможен наиболее простой ее выбор.

Если через контур провести две поверхности и то

Учитывая, что и ограничивают некоторую пространственную область и меняя направление нормали на поверхности на противоположное т.е. на внешнее по отношению к получим

т. е. поток вихря через замкнутую поверхность равен 0. Это означает, что поле вихря является соленоидальным.

Для плоского векторного поля формула Стокса принимает частный вид

(16)

где - замкнутая область на плоскости а - граница этой области с положительным направлением обхода. Формула (16) называется формулой Грина.

Задача 7.Вычислить с помощью формулы Стокса циркуляцию поля вектора по контуру положительно ориентированному по отношению к оси

Решение. Построим контур (рисунок 6). Этот контур - окружность радиусом 1 в пересечении параболоида и конуса

Рисунок 6

Простейшей поверхностью, опирающейся на этот контур, является плоскость Заданная ориентация означает, что с конца обход виден совершаемым против часовой стрелки. Тогда нормалью к плоскости является вектор .

Вычислим по формуле (14)

Вычисляем циркуляцию по формулам (15) и (16)

где - проекция круга радиусом 1 на плоскость .

ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА

В ПОТЕНЦИАЛЬНОМ ПОЛЕ

Векторное поле , заданное в области , называется потенциальным, если в области существует такая скалярная функция , что вектор можно представить в виде градиента этой функции:

. (17)

Функция называется потенциальной функцией или потенциалом векторного поля. Из формулы (3.17) следует , что

и

т. е. - есть полный дифференциал потенциала этого поля. Критерием потенциальностивекторного поля служит равенство

(18)

Следовательно, для того чтобы векторное поле было потенциальным необходимо и достаточно, чтобы оно было безвихревым.

Выполнение условия (18) в области приводит не только к потенциальности векторного поля, но и к следующим результатам:

а) в области существует потенциал который может быть определен с точностью до постоянной по формуле

(19)

где - любая фиксированная точка; - переменная точка в области - произвольная постоянная. Во втором интеграле формулы (19) постоянно а в третьем - и

б) циркуляция векторного поля по любому замкнутому контуру равна нулю:

Если же хотя бы в одной точке, внутренней по отношению к контуру поле не определено, циркуляция по этому контуру может и не обратиться в нуль, хотя поле потенциально;

в) для любых двух точек и области значение линейного интеграла векторного поля

не зависит от формы кривой соединяющей точки и и расположенной в , а зависит только от положения точек и в области ;

г) линейный интеграл этого поля вдоль любого контура соединяющего точки и равен разности значений потенциала в конечной и начальной точках контура:

. (20)

Физический смысл этого результата: если - силовое поле, то разность потенциалов между точками и равна работе, которую поле совершает при перемещении материальной точки из в .

Задача 8.Доказать, что поле вектора

является потенциальным. Найти его потенциал и вычислить линейный интеграл поля от точки до точки .

Решение. Так как поле определено и дифференцируемо в любой точке пространства и (проверьте самостоятельно), то данное поле потенциально. Найдем потенциал поля по формуле (19), взяв в качестве точки начало координат:

Линейный интеграл вычислим по формуле (20)

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

Первые три задачи каждого варианта необходимо решить при следующих условиях:

1. Найти работу векторного поля вдоль заданной кривой .

2. Пользуясь формулой Остроградского-Гаусса, вычислить поток вектора через ориентированную поверхность

3. Пользуясь формулой Стокса, найти циркуляцию вектора по контуру в положительном направлении относительно вектора .

Вариант № 1

1.

2. ; - внешняя сторона боковой поверхности конуса

3. ; .

4.Показать, что поле вектора потенциально, найти его потенциал.

Вариант № 2

1. от до

2. ; - внешняя сторона части параболоида отсеченного плоскостью

3. ;

4. Вычислить ротор векторного поля где - постоянный вектор,

Вариант № 3

1. ;

2. - внешняя сторона полусферы

3. ; - контур, образованный пересечением плоскости с координатными плоскостями; .

4. Найти производную скалярного поля в точке в направлении градиента поля в точке .

Вариант № 4

1. от точки до

2. ; - внешняя сторона части поверхности параболоида

3. ; - контур треугольника

4. Вычислить дивергенцию векторного поля где и - постоянные векторы, а

Вариант № 5

1. ; отрезок прямой от точки до точки

2. ; внешняя сторона поверхности цилиндра , ограниченного плоскостями и

3. ; - линия пересечения цилиндра с плоскостью

4. Вычислить дивергенцию поля где

Вариант № 6

1. .

2. ; внешняя сторона боковой поверхности пирамиды, ограниченной плоскостями

3. ;

4. Найти ротор векторного поля

Вариант № 7

1. ; от точки до точки

2. внешняя сторона части сферы отсеченной плоскостью

3. ;

4. Вычислить дивергенцию векторного поля где

Вариант № 8

1. ; контур треугольника

2. ; внешняя сторона боковой поверхности пирамиды, ограниченной плоскостями

3. ;

4. Проверить, является ли соленоидальным векторное поле

Вариант № 9

1. ; контур

2. ; внешняя сторона полусферы

3. ;

4. Является ли поле, образованное вектором

потенциальным?

Вариант № 10

1. ; от до

2. ; внешняя сторона боковой поверхности цилиндра ограниченного плоскостями

3. ;

4. Доказать, что поле вектора потенциально и найти его потенциал.

Вариант № 11

1. ; первая арка кривой

2. ; внешняя сторона цилиндрической поверхности ограниченной плоскостями

3.

4. Найти дивергенцию поля где

Вариант № 12

1. от до .

2. ; внешняя сторона поверхности конуса

3.

4. Найти производную функции в точке (2;1) в направлении, идущем от этой точки к началу координат.

Вариант № 13

1. ; от точки до точки

2. ; внешняя сторона поверхности параболоида ограниченного плоскостью

3.

4.

5. Вычислить дивергенцию векторного поля в точке (1;1/2;-1).

Вариант № 14

1. от до

2. -внешняя сторона однополостного гиперболоида ограниченного плоскостями .

3. ; пересечение параболоида с координатными плоскостями

4. Вычислить ротор векторного поля где - постоянный вектор, а

Вариант № 15

1. ; от точки до точки

2. ; -внешняя сторона поверхности конуса, ограниченной плоскостями

3. ; .

4. Проверить, является ли векторное поле потенциальным, и если оно потенциально, то вычислить его потенциал.

Вариант № 16

1. ; отрезок от до

2. ; внешняя сторона полусферы

3. ; .

4. Вычислить дивергенцию поля где - постоянный вектор.

Вариант № 17

1. ; ломаная в направлении от к .

2. ; внешняя сторона поверхности конуса ограниченного сферой

3. ;

4. Вычислить дивергенцию векторного поля в точке (1;2;3).

Вариант № 18

1. ; отрезок в направлении от точки к точке

2. ; внешняя сторона цилиндра

3. ;

4. Вычислить ротор вектора где

Вариант № 19

1. ; ломанная .

2. ; внешняя сторона части поверхности параболоида

3. ; .

4. Найти производную функции в точке в направлении, идущем от этой точки к точке

Вариант № 20

1. ; дуга одного витка винтовой линии в направлении возрастания параметра.

2. ; внешняя сторона полусферы

3. ; .

4. Найти потенциал векторного поля если оно потенциально.

Вариант № 21

1. ; от точки до точки .

2. ; боковая поверхность пирамиды с вершиной в точке основанием которой служит треугольник

3. ;

4. Векторное поле образовано вектором . Доказать, что оно потенциально и найти его потенциал;

Вариант № 22

1. ; прямая от к .

2. ; внешняя сторона части поверхности параболоида отсеченной плоскостью

3. ; пересечение плоскости с координатными плоскостями;

4. Показать, что поле потенциально и найти его потенциал.

Вариант № 23

1. ; от точки до точки

2. ; внутренняя сторона цилиндрической поверхности ограниченной плоскостями:

3. ;

4. Показать, что векторное поле является потенциальным, и его потенциал является гармонической функцией, удовлетворяющий уравнению Лапласа

Вариант № 24

1. ; от до .

2. ; внутренняя сторона поверхности параболоида ограниченного плоскостью

3. ; контур треугольника с вершинами и

4. Найти дивергенцию от градиента функции

в точке

Вариант № 25

1. контур

2. ; верхняя сторона лежащей в первом октанте части плоскости

3. ; контур, лежащий в первом октанте и образованный пересечением поверхности с плоскостями

4. Найти точки, в которых градиент функции равен

Вариант № 26

1. ; контур .

2. ; нижняя поверхность части параболоида отсеченной плоскостью

3. ; линия пересечения цилиндра с плоскостью

4. Доказать, что вектор ортогонален где а .

Вариант № 27

1. ; от точки до точки

2. ; верхняя сторона поверхности сферы лежащей в 1-м октанте.

3. ; часть линии пересечения сферы с плоскостями лежащая в первом октанте;

4. Вычислить дивергенцию векторного поля где постоянный вектор.

Вариант № 28

1.

2. ;

поверхность куба в направлении внешней нормали.

3. ;

4. Найти величину и направление градиента поля в точке

Вариант № 29

1. .

2. ; поверхность тела , в направлении внешней нормали.

3. ;

4. Найти дивергенцию поля в точке

Вариант № 30

1. .

2. ; поверхность тела в направлении внешней нормали.

3. ; контур, вырезаемый в первом октанте из параболоида плоскостями в положительном направлении относительно внешней нормали параболоида.

4. Убедиться в потенциальности поля .

Список л