![]() Категории: ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Верхний и нижний пределы последовательности.Всякая ограниченная последовательность имеет хотя бы одну предельную точку. Определение. Наибольшая (наименьшая) из предельных точек ограниченной последовательности {xn} наз. ёе верхним (нижним) пределом и обозначается: Если последовательность {xn} сходится, то она имеет ровно одну предельную точку (ее предел), и в этом случае Если ограниченная последовательность имеет конечное число предельных точек, то среди них, очевидно, есть наибольшая и наименьшая, то есть в этом случае последовательность имеет верхний и нижний пределы. Если же число предельных точек бесконечно, то существование верхнего и нижнего пределов не является очевидным. Теорема 6.3. Любая ограниченная последовательность имеет верхний и нижний пределы. Доказательство: Пусть {xn} - ограниченная поледовательность. Обозначим через {a} множество всех предельных точек этой последовательности. Так как это множество ограничено и непусто, то оно имеет точные грани. Обозначим Достаточно доказать, что Рассмотрим произвольную e-окрестность точки По определению точной верхней грани, существует точка a Î {a}: a Î {
БИЛЕТ 12 Числовая последовательность удовлетворяет условию Коши называется фундаментальной. Можно доказать, что и справедлива и обратное утверждение. Таким образом мы имеем критерий (необходимое и достаточное условие) сходимости последовательности. В заключении рассмотрим вопрос критерия сходимости числовой последовательности. Пусть Мы получили следующее утверждение: Если последовательность
Числовая последовательность удовлетворяет условию Коши называется фундаментальной. Можно доказать, что и справедлива и обратное утверждение. Таким образом мы имеем критерий (необходимое и достаточное условие) сходимости последовательности. Критерий Коши. Для того, чтобы последовательность имела предел необходимо и достаточно, что бы она была фундаментальной. Второй смысл критерия Коши. Члены последовательности
БИЛЕТ 13 Односторонние пределы.
Определение 13.11. Число А называется пределом функции у = f(x) при х, стремящемся к х0 слева (справа), если Обозначения:
Теорема 13.1(второе определение предела). Функция y=f(x) имеет при х, стремящемся к х0, предел, равный А, в том и только в том случае, если оба ее односторонних предела в этой точке существуют и равны А. Доказательство. 1) Если 1) Если Замечание. Поскольку доказана эквивалентность требований, содержащихся в определении предела 13.7 и условия существования и равенства односторонних пределов, это условие можно считать вторым определением предела.
Определение 4 (по Гейне) Число А называется пределом функции Определение 4 (по Коши). Число А называется
БИЛЕТ 14 и 15 Свойства предела ф-ции в точке 1) Если предел в т-ке сущ-ет, то он единственный 2) Если в тке х0 предел ф-ции f(x) lim(x®x0)f(x)=A lim(x®x0)g(x)£B=> то тогда в этой т-ке $ предел суммы, разности, произведения и частного. Отделение этих 2-х ф-ций. а) lim(x®x0)(f(x)±g(x))=A±B б) lim(x®x0)(f(x)*g(x))=A*B в) lim(x®x0)(f(x):g(x))=A/B г) lim(x®x0)C=C д) lim(x®x0)C*f(x)=C*A |
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-06-09 lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда... |