Главная Случайная страница


Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






Непрерывные ф-ции. Непрерывность.

Опр. f(x) непрерывны Х0 и при этом ее предел в этой т-ке сущ-ет и равен знач. ф-ции в этой т-ке, т.е. lim(x®x0)f(x)=f(x0)-непрерывность ф-ции в т-ке. Из определения вытекает что в случае непрерывности ф-ции в данной т-ке вычитание пределов сводится к вычит. знач. ф-ции в данной т-ке. Равенство lim(x®x0)x=x0 (1‘). Т.е знак предела у непрерывной ф-ции можно вносить в аргумент ф-ции. Геометрически непрерывность ф-ции в т-ке х0 означает что ее график в этой т-ке не имеет разрыва. Если обозначить через Dу приращение ф-ции, т.е. Dу=f(x0+Dx)-f(x0) (приращение ф-ции в т. х0). “D” - символ приращения. Приращение аргумента в т-ке х0 это соответствует тому, что текущая т. х, то условие непрерывности в т-ке х0 записывается сл. образом lim(Dx®0)Dy=0~ Dу®0 (1‘‘). Если в т-ке х0 ф-ция непрерывна, то приращение ф-ции ®0 приращение аргумента. f(x) непрерывна в т-ке х0 <º> Dy®0 при Dх®0. Если понятие предела приводит к понятию непр. Ф-ции то понятие одностороннего предела приводит к понятию односторонней непр. точки.

Опр. Если f(x) имеет предел справа в т-ке х0(=f(x0+)) и этот предел равен значению ф-ции ф-ции в т-ке х0, т.е. f(x0+)=lim(x®x0,x>x0)f(x)=f(x0), то ф-ция f(x) наз-ся непр. справа в т-ке х0.

Аналогично при вып-нии усл. f(x0-)=lim(x®x0, x<x0)f(x)=f(x0), то ф-ция наз-ся непр. слева в т. х0. Ясно что справедлива сл.теорема вытекающая из связи односторонних пределов ф-ция f(x) непр. в т-ке х тогда, когда она непр. в этой т-ке, как справа, так и слева. f(x0-)=f(x0+)=f(x0)

Опр. Ф-ция f(x) непрерывна на некотором пр-ке D, если в каждой т-ке этого пр-ка при этом, если пр-ток D содержит граничную т-ку, то будем подразумевать соотв. одностор. непр. ф-ции в этой т-ке.

Пример Р-рим степенную производст. ф-цию

Q=f(k)=k^1/2 Q-объем выпуска продукции, к – объем капитала. D(f)=R+=>f(0)=0 и очевидно f(0+) $ и равно 0 => что данная ф-ция непр. на своей обл. опр-ния. Большинство ф-ций исп-мых в эк-ке непр. Например непр. ф-ции означает, что при малом изменении капитала мало будет меняться и выпуск пр-ции (DQ®0 при Dk®0). Ф-ции которые не явл. непр. наз-ют разрывными соотв. т-ки в которых ф-ция не явл. непр. наз-ся т-кой разрыва

первая теорема Вейерштрасса. Непрерывная на сегменте функция ограничена на этом сегменте.

Доказательство. (здесь рисунок)

Допустим, что f(x) не ограничена на этом сегменте, то есть " натурального n $ xn Î [a, b]:

½ f(xn) ½> n. (1)

Рассмотрим последовательность {xn}. Она ограничена и, следовательно, из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Пусть ® c. Так как все Î [a, b], то и c Î [a, b], значит, f(x) непрерывна в точке c (по условию), поэтому ® f(с). С другой стороны, в силу (1) > kn , и значит, последовательность - бесконечно большая, то есть, эта последовательность расходится. Полученное противоречие доказывает, что наше предположение неверно и, следовательно, f(x) ограничена на [a, b]. Теорема доказана.

//Замечание. Для интервала теорема неверна.

Например, f(x) = на интервале 0 < x < 1 непрерывна, но не является ограниченной на этом интервале. Вопрос: в каком месте не пройдет доказательство теоремы 7.2, если рассматривать интервал, а не сегмент.

Пусть f(x) огр. на множестве X. Тогда она имеет на этом множестве точные грани:

f(x) = M, f(x) = m.

Если в каких-то точках f(x) принимает значения M и m, то говорят, что функция достигает на множестве X своих точных граней.

Пример. y = , X = {0 < x £ 1}. (здесь рисунок)

f(x) = 1, f(x) = 0, но f(x) не достигает своей точной нижней грани. Пусть теперь f(x) непрерывна на [a, b], тогда по теореме 7.2 она ограничена на этом сегменте и, следовательно, имеет точные грани.

f(x) = M, f(x) = m.

 

БИЛЕТ 24

Теорема. (вторая теорема Вейерштрасса) Непрерывная на сегменте функция достигает на этом сегменте своих точных граней.

Доказательство. Проведем доказательство для точной верхней грани. Допустим, что f(x), непрерывная на сегменте [a, b], не принимает ни в одной точке значения

M = f(x), тогда " x Î [a, b]: f(x) < M.

Введем функцию: F(x) = > 0 и непрерывна на [a, b]. По теореме 7.2, $ A > 0, " xÎ[a,b] : F(x) = £ A. " x Î [a, b]: f(x) £ M - < M.

Но это противоречит тому, что M – наименьшая из верхних граней функции на [a, b]. Полученное противоречие доказывает, что наше предположение неверно и, следовательно, функция достигает на сегменте [a, b] своей точной верхней грани.

Теорема доказана.

//Замечание 1. Для интервала или полусегмента теорема неверна (см. пример перед теоремой).

//Замечание 2. Если f(x) достигает на множестве X своей точной верхней грани, то она имеет на этом множестве максимальное значение, то есть f(x) = f(x), в противном случае функция не имеет на множестве X максимального значения. То же самое отн. к min и inf. Из теоремы 7.3 следует, что если f(x) непрерывна на сегменте [a, b], то она имеет на этом сегменте максимальное и минимальное значения. Ограниченная, но разрывная на сегменте функция может не иметь на этом сегменте минимального и максимального значения.

Пример. (здесь рисунок)

f(x) = . f(x) =1, минимального значения нет.

Примеры.

1) f(x) = x равномерно непрерывна на (- ¥, ¥).

В самом деле, " e > 0 возьмем d = e (тем самым d зависит только от e и не зависит от x).

Если ½x''-x'½ < d = e, то ½f(x'')-f(x')½= ½x''-x'½< e, а это и означает по определению, что данная функция непрерывна на всей числовой прямой.

2) f(x) = на X = {0 < x £ 1}.

Эта функция непрерывна на (0, 1), но не является равномерно непрерывной.

 

(здесь рисунок) какойто

 

В самом деле, возьмем e = 1 и возьмем x' = , x'' = . Тогда " d > 0 $ N: ½x' - x''½ < d, но при этом ½f(x') - f(x'')½ = ½n - (n + 2)½ = 2 > e = 1. Тем самым, для указанного e не найдется нужного d. Это и означает, что данная функция не является равномерно непрерывной на [0, 1].

и прологарифмируем его по основанию e: здесь так как функция ln(u) непрерывна в точке u=e, то переставляя местами знак предела и знак непрерывной функции получим: или

БИЛЕТ 25

Последнее изменение этой страницы: 2016-06-09

lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда...