Химический потенциал невырожденного идеального газа. Энергия Ферми.

Химический потенциал определяет среднюю энергию частиц в термодинамической системе микрочастиц, отнесенную к одной части-це. Для химического потенциала можно записать:

(1)

С другой стороны, количество частиц в термодинамической сис-теме определяется интегрированием полной функции распределения:

. (2)

Дифференцируя это выражение по энергии, получим:

. (3)

В равновесном состоянии энергия и количество частиц в термо-динамической системе постоянны, поэтому для такого состояния мож-но записать . Учитывая это соотношение, получим:

(4)

Воспользовавшись формулой Больцмана

(5)

и обозначив концентрацию частиц , получим:

(6)

Логарифмируя это выражение, получим выражение для химиче-ского потенциала:

. (7)

Величина

(8)

получила название эффективного числа состояний. Подставляя это выражение в химический потенциал, получим:

(9)

Химический потенциал в применении к полупроводникам и ме-таллам определяет среднюю энергию электронного газа, отнесенную к одному электрону, и совпадает с понятием энергии Ферми.

Распределение Ферми-Дирака при абсолютном нуле

Электроны в металле можно рассматривать как находящиеся в потенциальной яме. Выход электронов из металла требует затраты энергии для преодоления сил химической связи, которые удерживают электроны. Обычно за нулевой уровень энергии принимается поверх-ность металла – электроны, находящиеся вне металла. В связи с этим электроны в металле, находящиеся в потенциальной яме, имеют отри-цательную энергию.

Рис.1. Электроны в потенциальной яме

Если бы электроны не были фермионами, то при абсолютном ну-ле они бы скапливались на дне потенциальной ямы. Являясь фермио-нами и подчиняясь принципу запрета Паули, электроны последова-тельно занимают уровни от дна потенциальной ямы до верхнего по-следнего уровня, который получил название уровня Ферми. Энергия этого уровня соответствует энергии Ферми. Поскольку энергияФерми, в этом случае отсчитывается от дна потенциальной ямы, то эта энер-гия всегда положительная.

Рассматривая заполнение энергетических уровней при абсолют-ном нуле, следует отметить, что при E<E_F все энергетические уровни будут заняты. В то же время для E>E_F все энергетические уровни бу-дут свободны. Таким образом, для функции распределения Ферми-Дирака при абсолютном нуле можно записать:

Полная функция распределения Ферми-Дирака запишется:

Вычисление энергии Ферми

Энергия Ферми E_F может быть найдена интегрированием полной функции распределения в пределах от 0 до E_F:

. (10)

Этот интеграл определяет число частиц с энергией E_F. Полная функция распределения для вырожденного газа фермионов при темпе-ратуре абсолютного нуля будет определяться:

.

Плотность числа состояний определяется:

. (11)

Интегрируя, получим полное число частиц:

. (12)

Учитывая, что спин электрона равен s=1/2 и вычисляя интеграл, получим:

. (13)

Из этого выражения энергия Ферми при температуре абсолют-ного нуля определяется:

. (14)

Изменение энергии Ферми при изменении температуры

Энергия Ферми – эффективная величина, которая характеризует связь объемных свойств кристалла с вакуумом. В связи с этим энергия Ферми может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Она определяет электрические, тепловые, механические и оптические свойства кристаллов. Значение энергии Ферми для метал-ла в области низких температур, где электронный газ вырожден, опре-делится:

. (15)

В области высоких температур, где электронный газ в металле становится невырожденным, . В связи с этим функция Ферми-Дирака при изменении температуры будет иметь вид (рисунок 2).

Рис. 2. Вид функции распределения Ферми- Дирака

при различных температурах