Статистика носителей заряда в собственном полупроводнике

В собственном полупроводнике носителями зарядов являются электроны в зоне проводимости и дырки в валентной зоне. Статисти-ческими характеристиками этих носителей заряда будут функция рас-пределения f(E), концентрация носителей n_i и p_i и энергия носителей заряда, которая характеризуется химическим потенциалом – энергией Ферми.

При нулевой температуре в химически чистом полупроводнике, как в зоне проводимости, так и в валентной зоне будут отсутствовать подвижные носители заряда. При увеличении температуры будет про-исходить активизация электронов в валентной зоне и они будут пере-ходить в зону проводимости. Уход электронов из валентной зоны бу-дет сопровождаться образованием дырочных носителей заряда в ва-лентной зоне. При этом количество электронов в зоне проводимости будет равно количеству дырок в валентной зоне n_i=p_i.

При комнатной температуре электронный газ в зоне проводимос-ти и дырочный газ в валентной зоне будут невырожденными. Следо-вательно, статистика электронного и дырочного газа в собственном полупроводнике при комнатной температуре будет определяться функцией распределения Максвелла-Больцмана:

, (16)

где N_C и N_V – эффективное число состояний в зоне проводимости и в валентной зоне, которые определяются выражениями:

, . (17)

В этих выражениях m_n и m_p – эффективные массы электронов и дырок. Для определения концентрации носителей заряда необходимо воспользоваться интегральной функцией распределения:

, (18)

где плотность числа состояний определится:

. (19)

Учитывая, что спин для электронов и дырок равен s=1/2 и рассмат-ривая совместно выражения для функции распределения и концентра-ций носителей заряда, получим для концентраций:

, (20)

где ΔE_g – ширина запрещенной зоны.

Рис.6. Положение уровня Ферми в собственном полупроводнике

Химический потенциал или уровень Ферми электронов зоны проводимости определится:

.

Это выражение определяет значение химического потенциала электронов зоны проводимости, отсчитываемого от дна зоны проводи-мости. Так как для невырожденного полупроводника концентрация электронов меньше числа эффективных состояний в зоне проводимо-сти n<N_C, то величина химического потенциала будет меньше нуля , то есть уровень Ферми электронов должен располагаться ни-же дна зоны проводимости. При этом, с уменьшением концентрации электронов уровень Ферми будет опускаться ниже.

Химический потенциал дырочного газа в валентной зоне опреде-лится:

.

В равновесном состоянии уровни Ферми для электронов и дырок совпадают:

.

Статистика носителей заряда в примесных полупроводниках

N-типа

Зонная диаграмма примесного полупроводника n-типа имеет вид:

Рис. 7. Зонная диаграмма полупроводника n-типа

К статистическим параметрам примесного полупроводника n-ти-па относятся виды носителей заряда, их концентрации и функции рас-пределения, энергия газа, формируемого этими зарядами.

В примесном полупроводнике n-типа существуют основные носи-тели заряда – электроны (n_n) и неосновные носители заряда – дырки (p_n). Концентрация основных носителей заряда определяется наличи-ем донорной примеси n_d и собственной проводимостью полупровод-ника n_i. Концентрация основных носителей заряда в примесном полу-проводнике может, практически, принимать любые значения. Это определяется легированием полупроводника донорной примесью. По-этому электронный газ в полупроводнике n-типа может опреде- ляться как статистикой Максвелла-Больцмана, так и статистикой Ферми-Дирака.

Концентрация неосновных носителей заряда p_n определяется соб-ственной проводимостью примесного полупроводника p_n=p_i. Поэтому дырочный газ в примесном полупроводнике n-типа будет определять-ся статистикой Максвелла-Больцмана.

Для определения концентраций носителей заряда воспользуемся интегральной функцией распределения:

.

В случае неосновных носителей заряда функция распределения f(E) определится:

.

Плотность числа состояний запишется:

,

.

Из этих выражений концентрация неосновных носителей заряда определится:

.

Концентрация основных носителей заряда будет определяться:

,

,

где величина n_d будет зависеть от концентрации донорной примеси N_d. Если концентрация донорной примеси будет меньше эффективно-го числа состояний в зоне проводимости N_d<N_c, то при определении n_d необходимо воспользоваться статистикой Максвелла-Больцмана:

,

где E_d – энергия ионизации донорного уровня. В том случае, если кон-центрация донорной примеси соизмерима с эффективным числом со-стояний в зоне проводимости N_d~N_c, то при определении n_d необходи-мо воспользоваться распределением Ферми-Дирака:

,

где химический потенциал определится:

,

.

Таким образом для определения концентрации основных носите-лей заряда, связанных с донорной примесью, необходимо рассмотреть систему нелинейных уравнений, включая интегральное уравнение.