Методика решения задач, связанных с определением КПД термодинамических циклов

Содержание

Предисловие …………………………………………………………………4

§1. Методика решения задач, связанных с определением КПД термодинамических циклов ………………………………………………………6

§2. Задачи для самостоятельной работы (с подсказками, советами, рекомендациями) …………………………………………………………………14

Ответы ………………………………………………………………………42

Предисловие

Задачи, связанные с расчетом КПД термодинамических циклов, представляют методический интерес тем, что в них комплексно применяются понятия работы, теплоты, внутренней энергии, теплоемкости, равновесного процесса, уравнение состояния идеального газа и уравнения различных процессов в идеальном газе, первый закон термодинамики.

Следует иметь в виду, что решение самих по себе задач на расчет КПД различных термодинамических циклов – не самоцель, а, скорее, средство для эффективного усвоения студентами основ термодинамики. Данный материал имеет для студентов педвуза особую значимость, поскольку он входит и в школьные программы по физике различного уровня. Поэтому их научно-методическая компетентность в таком материале должна служить залогом успешности преподавания ими физики в школе.

Решение комплексных задач по любому разделу физики, в том числе по термодинамике, к которой относятся задачи на расчет КПД циклов, важно тем, что требует размышлений, а не формального применения различных термодинамических соотношений. Они, таким образом, способствуют развитию мышления студентов – пожалуй, самого важного продукта обучения. Конечно, студенты должны сначала усвоить общую методику решения задач на расчет КПД циклов (она изложена в §1). Вместе с тем, в каждой задаче нужно, следуя общей методической схеме решения, выстроить ту логическую цепочку, в финале которой получается ответ на вопрос задачи. Такую логическую цепочку (план решения задачи) студент должен научиться находить вместо бездумного перебора и записи различных формул. Только после качественного решения задачи в уме – нахождения плана логически последовательных действий – можно приступать к ее письменному решению. Подобная методология (о которой идет речь в §1) решения задач, освоенная студентом в педвузе, будет иметь положительное продолжение в его учительской работе. Привитие системно-логического мышления школьникам при решении задач (не только относящихся к физике) – не менее важная, чем в вузе, цель обучения физики в школе.

В §2 дано собрание задач, связанных с расчетом КПД термодинамических циклов. Часть из них составлена авторами, часть заимствована из различных литературных источников в той или иной авторской переработке. Задачи предназначены для самостоятельной работы студентов (в аудитории и дома). Известно, что в такой работе студенты нередко испытывают трудности и не могут справиться с решением заданных им задач. Поэтому, во-первых, в начале §2 имеется краткий справочник основных термодинамических формул и соотношений, необходимых для решения задач сборника. Во-вторых, почти все задачи сопровождаются рисунками и советами к их решению (подсказками, рекомендациями). В них кратко или более подробно (в зависимости от сложности задачи) излагается логический план действий (основанный на общей методологии решения, §1), ведущий к нахождению ответа на вопрос задачи. В итоге студент в состоянии по существу разобраться в содержании задачи и решить ее. Вместе с тем он учится логике размышлений.

В процессе работы со студентами на практических занятиях можно предложить им после решения задач (не из сборника §2) кратко, в письменной форме, (по образцу советов, подсказок и рекомендаций в §2) изложить план их решения. В итоге, такой план студенты научатся составлять самостоятельно до решения задачи. Тому же они будут в состоянии обучить школьников.

Ответы

1. .

2. .

3. Увеличился в 2 раза.

4. – КПД выше у цикла 1-5-6-4-1.

5. .

6. .

7. .

8. К.

9. .

10. .

11. .

12. .

13. К.

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19. .

20. .

21. ; .

22. .

23. кДж.

24. .

25. .

26. .

27. .

28. (т.к. ).

29. .

30. .

31. .

32. .

33. .

34.

35. .

36. ; при , .

37. .

38. ; .

39. .

40. .

41. .

42. .

43. .

44. .

45. .

46. .

47. .

48. Дж.

49. .

50. .

Содержание

Предисловие …………………………………………………………………4

§1. Методика решения задач, связанных с определением КПД термодинамических циклов ………………………………………………………6

§2. Задачи для самостоятельной работы (с подсказками, советами, рекомендациями) …………………………………………………………………14

Ответы ………………………………………………………………………42

Предисловие

Задачи, связанные с расчетом КПД термодинамических циклов, представляют методический интерес тем, что в них комплексно применяются понятия работы, теплоты, внутренней энергии, теплоемкости, равновесного процесса, уравнение состояния идеального газа и уравнения различных процессов в идеальном газе, первый закон термодинамики.

Следует иметь в виду, что решение самих по себе задач на расчет КПД различных термодинамических циклов – не самоцель, а, скорее, средство для эффективного усвоения студентами основ термодинамики. Данный материал имеет для студентов педвуза особую значимость, поскольку он входит и в школьные программы по физике различного уровня. Поэтому их научно-методическая компетентность в таком материале должна служить залогом успешности преподавания ими физики в школе.

Решение комплексных задач по любому разделу физики, в том числе по термодинамике, к которой относятся задачи на расчет КПД циклов, важно тем, что требует размышлений, а не формального применения различных термодинамических соотношений. Они, таким образом, способствуют развитию мышления студентов – пожалуй, самого важного продукта обучения. Конечно, студенты должны сначала усвоить общую методику решения задач на расчет КПД циклов (она изложена в §1). Вместе с тем, в каждой задаче нужно, следуя общей методической схеме решения, выстроить ту логическую цепочку, в финале которой получается ответ на вопрос задачи. Такую логическую цепочку (план решения задачи) студент должен научиться находить вместо бездумного перебора и записи различных формул. Только после качественного решения задачи в уме – нахождения плана логически последовательных действий – можно приступать к ее письменному решению. Подобная методология (о которой идет речь в §1) решения задач, освоенная студентом в педвузе, будет иметь положительное продолжение в его учительской работе. Привитие системно-логического мышления школьникам при решении задач (не только относящихся к физике) – не менее важная, чем в вузе, цель обучения физики в школе.

В §2 дано собрание задач, связанных с расчетом КПД термодинамических циклов. Часть из них составлена авторами, часть заимствована из различных литературных источников в той или иной авторской переработке. Задачи предназначены для самостоятельной работы студентов (в аудитории и дома). Известно, что в такой работе студенты нередко испытывают трудности и не могут справиться с решением заданных им задач. Поэтому, во-первых, в начале §2 имеется краткий справочник основных термодинамических формул и соотношений, необходимых для решения задач сборника. Во-вторых, почти все задачи сопровождаются рисунками и советами к их решению (подсказками, рекомендациями). В них кратко или более подробно (в зависимости от сложности задачи) излагается логический план действий (основанный на общей методологии решения, §1), ведущий к нахождению ответа на вопрос задачи. В итоге студент в состоянии по существу разобраться в содержании задачи и решить ее. Вместе с тем он учится логике размышлений.

В процессе работы со студентами на практических занятиях можно предложить им после решения задач (не из сборника §2) кратко, в письменной форме, (по образцу советов, подсказок и рекомендаций в §2) изложить план их решения. В итоге, такой план студенты научатся составлять самостоятельно до решения задачи. Тому же они будут в состоянии обучить школьников.

Методика решения задач, связанных с определением КПД термодинамических циклов

Известно, что максимальное давление газа в цикле в 2 раза больше минимального, а максимальный объем в 3 раза превышает минимальный. Требуется определить КПД такого цикла.

При решении подобных задач следует рационально выбрать обозначения величин, что значительно упрощает расчеты и минимизирует вероятность ошибки. В данной задаче можно было бы обозначить давления и объемы символами , , , . Однако гораздо проще ввести иные обозначения (так следует поступить при решении многих задач §2). Именно, обозначим давление и объем в состоянии 4 (рис.1) символами , . Тогда верхней изобаре соответствует давление , а правой изохоре – объем .

Общая методическая схема решения задачи такова: 1) сначала определяются количества теплот , , , вместе с их знаками; 2) на диаграмме цикла символически показывается стрелками соответственно знакам вычисленных количеств теплот, получает их или отдает рабочее тело на каждом участке цикла (рис.1); 3) количество полученной рабочим телом за цикл теплоты обозначается символом (или ) и выражается суммой количеств теплот, которые получило рабочее тело на соответствующих участках цикла; 4) количество отданной (внешним телам) за цикл рабочим телом теплоты обозначается символом (или ) и выражается суммой отданных им теплот на известных участках данного цикла, причем эта сумма берется по модулю (так что полагается ); 4) КПД цикла определяется формулой (или ).

Имея в виду выражение всех количеств теплот только через величины , (которые, таким образом, сократятся при вычислении КПД ), определим предварительно посредством уравнения состояния идеального газа его температуры в состояниях 1, 2, 3, 4:

, , , .

Теперь находим количества теплот на каждом участке цикла:

,

,

,

.

Показываем символически на рис. 1, на каких участках цикла рабочее тело получает соответствующее количество теплоты, а на каких – определенное выше количество теплоты отдает внешним телам.

Далее, следуя изложенной выше методической схеме, определяем величины:

,

.

В итоге находим:

.

В качестве проверки полученного ответа можно подсчитать КПД по формуле: . Так как совершенная рабочим телом за цикл работа равна площади цикла, то . Тогда .

Пусть задан цикл, изображенный на диаграмме , рис. 2. Здесь 1-2 – процесс с линейной зависимостью давления от объема, 2-3 – изобара, 3-1 – изохора. Рабочее тело – одноатомный идеальный газ. Необходимо вычислить КПД данного цикла.

Причина заключается в том, что процесс 1-2 сложный – на одном его участке рабочее тело получает теплоту, а на другом участке отдает. Эти количества теплот складываются с разными знаками и получается итоговое (балансовое) количество теплоты . Но поскольку полученное и отданное количества теплоты в процессе 1-2 войдут в разные величины соответственно и за цикл, то это скажется на значении .

Таким образом, необходимо сначала решить задачу с процессом 1-2 – определить, какое количество теплоты рабочее тело получает в этом процессе и какое количество теплоты отдает внешним телам.

Уравнение прямой линии 1-2 в переменных , (рис. 2) выражается в общем виде так: , где , подлежащие определению. Подставим сюда значения давления и объема в состояниях 1 и 2. Тогда получим два равенства: , . Из них следует: , . Значит уравнение прямой 1-2:

.

Пусть – состояние газа с текущими значениями давления, объема и температуры ( ). По первому началу термодинамики для процесса 1- :

,

где – количество теплоты, – изменение внутренней энергии, – работа в процессе 1- .

Определим далее:

.

Подставив в это выражение значение из уравнения прямой 1-2 процесса, получим:

.

Работа в процессе 1- равна площади трапеции на рисунке 2:

.

После подстановки сюда выражения согласно уравнению процесса 1-2 найдем:

.

Тогда, сложив и , получим:

.

Очевидно, что у этой функции есть максимум, после которого она меняет знак с плюса на минус. Определим его, исходя из уравнения:

, .

После подстановки вместо в выражение найдем:

.

Это значение и представляет собой полученное в процессе 1-2 количество теплоты.

Рабочее тело в данном цикле получает теплоту также в процессе 3-1:

.

Таким образом, за цикл рабочее тело получает количество теплоты

.

Работа в цикле:

.

Искомый КПД цикла:

.

Следует обратить внимание на то, что если , то (отдаваемое в процессе 1-2 количество теплоты), рис. 2. Тогда .

Цикл состоит из процесса 1-2 линейной зависимости давления от объема, изотермического процесса 2-3 и изобарического процесса 3-1. Рабочее тело – одноатомный идеальный газ. Ставится задача определить в процентах КПД такого цикла.

Прежде всего нужно выразить через величину объем газа в состояниях 2, 3. Он легко определяется и составляет соответственно , . Дальше обращаем внимание на то, что процесс 1-2 является политропным процессом , где . Молярная теплоемкость при таком процессе находится по формуле и составляет . Тогда легко определяется количество теплоты через величины , (используя уравнение состояния, рис. 3 и найденное значение ): . Величина . Так как , то по формуле определяем . Теперь найдем: .

Необходимо еще определить работы на соответствующих участках цикла:

,

,

.

Тогда работа газа в цикле составляет:

.

КПД цикла:

.

Резюмируем методические рекомендациик решению задач, связанных с расчетом КПД термодинамических циклов:

1) если в тексте задачи назван цикл, но не изображен на рисунке, то следует построить его на диаграмме (такая диаграмма имеет то преимущество, что площадь цикла на ней численно равна работе, совершенной рабочим телом за цикл);

2) для упрощения и ясности расчетов важно выбрать удачные обозначения параметров состояния рабочего тела, задать их в каком-либо одном состоянии (обычно в том, где они минимальны, обозначив, например, , ) и определить через них параметры всех других состояний (используя уравнение состояния идеального газа, уравнения процессов и условия задачи);

3) определить количество теплоты на каждом участке цикла с соответствующим знаком, применяя известные термодинамические формулы (см. справочник в §2);

4) изобразить символически стрелками полученные или отданные рабочим телом количества теплоты на каждом участке цикла (см. рис. 1-3, §1);

5) вычислить сумму положительных количеств теплоты и модуль суммы отрицательных количеств теплоты ;

6) определить КПД цикла по формуле ;

7) для проверки ответа вычислить работу на каждом участке цикла (с соответствующим знаком!) и просуммировать все работы , определив, таким образом, работу за цикл; найти КПД цикла по формуле и сравнить с ранее полученным результатом.

§2. Задачи для самостоятельной работы

(с подсказками, советами, рекомендациями)