Справочник термодинамических формул к решению задач

Уравнение состояния идеального газа:

, (1)

где – число молей газа, Дж/(моль·К) – универсальная газовая постоянная; – давление, объем и абсолютная температура.

Молярная теплоемкость

, (2)

где – элементарное количество теплоты (получаемое или отдаваемое газом), – бесконечно малое изменение температуры.

Значение молярной теплоемкости зависит от того, какой совершается процесс.

Если , то

. (3)

При (изохорический процесс):

. (4)

При (изобарический процесс):

. (5)

Для идеального одноатомного газа:

, . (6)

Изобарная и изохорная теплоемкости связаны соотношением:

. (7)

Изменение внутренней энергии идеального газа (при любом процессе):

. (8)

По определению работа газа (и любой термодинамической системы):

, (9)

применяя формулу (9) к различным процессам, получим следующие выражения работ:

изобарический процесс: , (10)

изохорический процесс: , (11)

изотермический процесс: . (12)

Адиабатический процесс характеризуется тем, что при таком процессе и поэтому .

Уравнение адиабатического процесса

, , , (13)

где, конечно, в этих равенствах различные; .

По определению политропического процесса:

. (14)

Уравнение политропического процесса:

, , , (15)

где показатель политропы:

. (16)

Так как С_p-С_V=R, то из (16) следует выражение теплоемкости идеального газа при политропическом процессе:

. (17)

Первое начало термодинамики

. (18)

В циклическом процессе

, (19)

где – изменение внутренней энергии рабочего тела на -м участке цикла.

Из (18), (12) следует:

, (20)

т.е. сумма количеств теплот, получаемых или отдаваемых рабочим телом на всех участках цикла, равно работе, совершенной им за цикл (она складывается из работ на отдельных участках цикла).

, если рабочее тело получает это количество теплоты от внешних тел; , если рабочее тело отдает такое количество теплоты внешним телам.

, если работу совершают внешние тела над рабочим телом (обычно это работа сжатия); , если работа совершается рабочим телом над внешними телами (обычно эта работа расширения).

Если цикл изображен на диаграмме , (то только в таком случае согласно определению (9)) работа численно равна площади цикла (рис. 4). В частности, если имеется в виду отдельный процесс 1-2, то работа численно равна площади криволинейной трапеции (рис. 5).

Цикл называется прямым, если он обходится по часовой стрелке (рис. 4). В противном случае цикл называется обратным. Суммарная работа в случае прямого цикла положительная ( ), в случае обратного цикла отрицательная ( ).

КПД (коэффициент полезного действия) тепловой машины, работающей по тому или иному прямому циклу, или, говоря кратко, КПД цикла определяется по формуле:

, (21)

– работа, совершенная рабочим телом за цикл; – количество полученной рабочим телом за цикл теплоты (поэтому эту величину нередко обозначают ).

Если – количество теплоты, полученной рабочим телом за цикл ( ), а – количество теплоты, отданной рабочим телом внешним телам за цикл ( ), то согласно первому началу термодинамики (18), примененному к циклу, энергетический баланс прямого цикла:

, (22)

т.е. за счёт полученного за цикл количества теплоты от внешних тел совершается работа и часть количества теплоты отдается внешним телам.

После подстановки (22) в выражение (21) получается такая формула для КПД цикла:

. (23)

Формулы (21), (23) пригодны для нахождения КПД любого термодинамического цикла.

Замечательный термодинамический цикл – цикл Карно. Он состоит из чередующихся четырех процессов: двух изотерм (их температуры , , причем ) и двух адиабат.

Если применить формулу (21) или то же (23) к циклу Карно, полагая рабочим телом идеальный газ, то оказывается, что КПД цикла Карно можно определить по формуле

. (24)

В формулу (24) не входят данные о рабочем теле. Это значит, что КПД цикла Карно не зависят от природы рабочего тела, совершающего этот цикл. Такова особенность цикла Карно.

В отличие от любых других циклов (где множество теплоотдатчиков (нагревателей) и теплоприемников (холодильников)), в цикле Карно только один нагреватель с фиксированной температурой и только один холодильник с постоянной температурой .

_____________

2.В изобарическом процессе 1-2 (рис. 7) газ получает количество теплоты, составляющее третью часть работы, совершенной им за цикл 1-2-3-4-1, который состоит из изохор 1-2, 3-4 и изобар 2-3, 4-1. Если провести с тем же газом процесс 1-3, то оказывается, что в этом процессе газ получает количество теплоты, в два раза большее, чем в процессе 1-2. Каков КПД цикла 1-2-3-4-1?

Совет. Попробуйте решить эту задачу по рис. 2 устно.

3. В цикле, состоящем из двух изохор и двух изобар (рис. 8), в изобарическом процессе 2-3 идеальный газ получает в 2 раза меньше количества теплоты, чем в изохорическом процессе 1-2. Цикл изменили так, что процесс 1-2 остался прежним, а конечный объем изобарических процессов увеличился. При этом работа газа в новом цикле стала в 4 раза больше, чем в прежнем цикле. Во сколько раз изменился КПД цикла?

Для удобства и быстроты вычислений примените обозначения: , . Тогда по условию задачи . Используйте определения и через теплоемкость и разность температур. Посредством уравнения состояния идеального газа замените разность температур разностью объемов. Соотношение между разностями объемов в старом и новом циклах найдите из соотношения работ. В итоге определите через , а затем в цикле 1-2-3’-4’-1.

4.На рис. 9 показаны два термодинамических цикла, проведенных с одноатомным идеальным газом: 1-2-3-4-1 и 1-5-6-4-1. У какого из них КПД выше? Во сколько раз?

Совет. Сначала запишите общие выражения КПД циклов (через работу и полученное количество теплоты) и составьте их отношение. Как относятся работы в этих циклах, сообразите сразу. Затем определите количество полученной рабочим телом теплоты в каждом цикле, выразив их через величину .

5.Цикл состоит из линейного участка 1-2, адиабаты 2-3 и изотермы 3-1, цикл – из адиабаты 1-4, изотермы 4-2 и линейного участка 2-1 (рис. 10). КПД циклов и одинаковы, а минимальная температура в каждом из циклов составляет одну четверть от максимальной. Каковы КПД этих циклов?

Учтите, что , где . Запишите через теплоты выражения КПД и (в них войдут теплоты , , ), а также КПД цикла 1-4-2-3 (как такой цикл называется?) двумя способами – через температуры данных изотерм и по общей формуле посредством теплот , , . Тем самым найдется соотношение теплот и , что позволит выразить через и . Из равенства определите соотношение и , после чего найдутся значения искомых величин.

6.На диаграмме (рис. 11) процессы 1-2, 3-4 – изохорические, а процессы 2-3, 4-1 – изобарические. КПД цикла 1-2-3-1 составляет . Чему равен КПД цикла 3-4-1-3? Участок 1-3 представляет собой процесс с линейной зависимостью давления от объема.

7.КПД цикла 3-4-1-3 на диаграмме (рис. 11) составляет (см. задачу 6). Каков КПД цикла 1-2-3-4-1?

9. Цикл Карно 1-2-3-4-1 (см. задачу 8, рис. 12) «разделен» на два цикла: цикл 1-2-4-1 с КПД и цикл 4-2-3-4 с КПД . Чему равен КПД цикла Карно?

10. КПД цикла 1-2-3-1, изображенного на рис. 13, равен , а КПД цикла 1-3-4-1 равен . Определите КПД цикла 1-2-3-4-1.

Указание. КПД здесь целесообразно определять через количества теплот.

11.КПД тепловой машины в цикле 1-2-3-1 (рис. 14), состоящем из изотермы 1-2, изохоры 2-3 и адиабаты 3-1, равен . В цикле 1-3-4-1, состоящем из адиабаты 1-3, изотермы 3-4 и изохоры 4-1, КПД равен . Каков КПД тепловой машины, работающей по циклу 1-2-3-4-1?

12. Давление идеального одноатомного газа изменяется между значениями , в цикле, имеющем вид треугольника, рис. 15. Определите КПД цикла, если известно, что температура газа в состоянии 1 меньше его температуры в состоянии 3.

Совет. Сообразите, на каком участке цикла газ получает количество теплоты, и определите его через теплоемкость и разность температур (последнюю по уравнению состояния замените разностью объемов). Вычислите КПД через работу (она найдется геометрически) и полученную газом за цикл теплоту.

Если постараетесь, то сможете решить эту задачу устно!

13.С одним молем одноатомного идеального газа совершается цикл, состоящий из адиабатического расширения 1-2, изотермического сжатия 2-3 и изохорического процесса 3-1, рис. 16. КПД цикла составляет , а работа изотермического сжатия по модулю равна Дж. Какова разность максимальной и минимальной температур газа в цикле? Универсальная газовая постоянная Дж/(моль·К).

14. КПД цикла, состоящего из изотермы 1-2, изохоры 2-3 и адиабаты 3-1 (рис. 17), равен , а разность максимальной и минимальной температур составляет . Определите работу расширения, если рабочее тело 1 моль гелия.

15. Над идеальным газом совершается циклический процесс 1-2-3-1 (рис. 18), в котором 1-2 – адиабатическое расширение, 2-3 – изотермическое сжатие, 3-1 – изобарическое расширение. КПД цикла , а работа изотермического сжатия по модулю равна . Чему равна работа, совершенная газом за цикл?

Подсказка. Примените два выражения КПД цикла – одно через работу (искомую величину) и полученную за цикл теплоту, другое через теплоты. Как связаны величины и ?

16.На - диаграмме, изображенной на рис. 19, показан цикл совершаемый одним молем одноатомного идеального газа: 2-3 – изохора, 3-1 – изобара, 1-2 – процесс линейной зависимости давления от объема. Отношение максимальной температуры к минимальной в этом цикле равно . Определите КПД данного цикла.

Подсказка. Введите обозначения величин , , , , как показано на рис.19, сообразите, в каком состоянии , а в каком состоянии . Определите, на каком участке цикла газ получает теплоту и запишите КПД цикла через работу и количество полученной за цикл теплоты. Работу найдите из геометрии рис. 19, так же – работу . Запишите выражение для согласно первому началу термодинамики ( – выражается через и разность температур).

Уравнение процесса 1-2: , где , примените к состояниям 1, 2. Тем самым величины , выразятся через , , . Применяя уравнение состояния идеального газа, выразите работу и количество полученной газом за цикл теплоты через , (последние величины в итоге сократятся).

17.В тепловом двигателе в качестве рабочего тела служит один моль одноатомного идеального газа. Цикл двигателя состоит из изобары, изохоры и адиабаты. КПД цикла . Максимальная температура газа в цикле , минимальная , причем максимальная температура реализуется при адиабатическом процессе. Чему равна по модулю работа, совершенная над газом при его сжатии?

Совет. Сначала изобразите цикл на диаграмме . Здесь возможны два варианта цикла с тремя заданными процессами. Сообразите (учитывая, что – максимальная температура), какой из этих вариантов соответствует условию задачи. Какую из теплот , газ получает, а какую отдает? Выразите их через теплоемкости и температуры и запишите через них КПД . Учтите, что работа входит в выражение по первому началу термодинамики.

18.Цикл тепловой машины состоит из двух адиабат и двух изохор (рис. 20). Определите КПД цикла, если известно, что для одной из адиабат максимальная температура в раза больше минимальной. Рабочее тело – идеальный газ.

Подсказка. Примените уравнение адиабатического процесса в переменных , для состояний 1, 2 и 3, 4, откуда найдите отношение температур . КПД выразите через теплоты , , а последние определите через и разность температур.

19. Идеальный одноатомный газ из состояния 1 изохорно переводят в состояние 2 так, что его давление увеличивается в 4 раза. Затем газ переходит из состояния 2 в состояние 3 при линейной зависимости давления от объема. В состоянии 3 объем и давление газа соответственно в 2,5 и 2 раза больше, чем в состоянии 2. Из состояния 3 в начальное состояние 1 газ переводят процессом, который на диаграмме изображается прямой линией. Определите в процентах КПД такого цикла.

Рекомендация. Изобразите заданный процесс на диаграмме , обозначив параметры состояния 1 символами , . Тогда в состоянии 2 эти параметры , , а в состоянии 3 они равны … Применяя уравнение состояния идеального газа определите его температуру в состоянии 3, если в состоянии 1 она равна . Отметьте все эти значения на рисунке. Сообразите, из каких теплот состоит количество полученной за цикл теплоты. Определите их и последнюю через (при нахождении примените первое начало термодинамики), используя уравнение состояния идеального газа. Работу газа в цикле найдете из геометрии рисунка (как разность площадей двух трапеций).

20.Давление одноатомного газа изохорно увеличивают в 1,6 раза, затем объем газа изобарно возрастает в 1,4 раза, после чего давление газа изохорно уменьшают на 25% и, наконец, газ возвращают в исходное состояние в процессе, в котором давление линейно зависит от объема. Чему равен в процентах КПД такого цикла?

Совет. Решите сначала задачу 19 и примите во внимание данную к ней рекомендацию.

21. Над молем одноатомного идеального газа проводят цикл 1-2-3-1, изображенный на диаграмме (рис. 21). Здесь 1-2 – изобара, 3-1 – изотерма, 2-3 – процесс с линейной зависимостью давления от температуры. Температура в состоянии 2 в 1,5 раза больше температуры в состоянии 1. Определите работу газа за цикл и КПД цикла в процентах, если температура в состоянии 1 равна .

Подсказка. Выразите количества теплот и по стандартной формуле (определив их знаки). Теплоту определите через работу (по известной формуле, в которую входит и натуральный логарифм отношения давлений в состояниях 1 и 2, которое, сообразите, заменяется отношением температур в состояниях 2 и 3, связанных процессом, называемым … (как?)). После определения количеств теплот, получаемых или отдаваемых газом в заданных процессах цикла, запишите значения и . По ним найдете работу газа за цикл и КПД цикла.

22.На диаграмме (рис. 22) представлен цикл, совершаемый над одноатомным идеальным газом, где 1-2 – процесс с линейной зависимостью объема от температуры, 2-3 – изохора, 3-1 – изотерма. Известно, что при изобарном расширении газ совершает работу , а при изотермическом сжатии над газом совершается работа . Чему равен КПД данного цикла?

Совет. Убедитесь в том, что цикл изображенный на рис.22, прямой. Для этого полезно представить его на диаграмме . Работу в цикле определите сразу через и (их очевидное соотношение следует из изображения цикла на диаграмме ); учтите, что . Сообразите, какие знаки имеют количества теплот , , , и тогда Вы определите (по первому началу термодинамики; раскройте значение и выразите , входящее в значение изменения внутренней энергии, через ; тогда выразится через ). КПД цикла найдете через и .

23. В тепловом двигателе, рабочим телом которого служит один моль идеального одноатомного газа, совершается цикл, представленный на диаграмме (рис. 23), где 1-2 – изохора, 2-3 – изотерма, 3-1 – изобара. КПД двигателя , разность между максимальной и минимальной температурами газа в цикле К. Определите работу газа в процессе 2-3 его изотермического расширения.

Совет. Обоснуйте направления символических стрелок для количеств теплот , , на рис.23. Используйте обозначения и для температур в состояниях 2, 3, 1. Найдите сначала выражения , , , а затем – и , через которые запишите КПД данного цикла. Так как , то из выражения определите искомую величину .

24.КПД цикла (рис. 24) 1-2-3-1 равен . Этот цикл состоит из адиабаты , изотермы 2-3 и изохоры 3-1 и его совершает один моль идеального одноатомного газа. Каков КПД цикла 1-2-4-1, совершаемого тем же, что и цикл 1-2-3-1, идеальным газом? Процессы 2-3 и 2-4 принадлежат одной изотерме; 4-1 – процесс с линейной зависимостью температуры от объема.

Рекомендация. Обозначьте объем газа в состоянии 2 символом , а объем газа в состоянии 3 – символом (где – некая постоянная) (рис. 24). Надо показать, что объем газа в состоянии 4: , где . Для этого примените уравнение адиабаты к состояниям газа 1 и 2 и сообразите, чтó за процесс 1-4 (тогда найдете отношение через отношение температур). Определите через теплоты (предварительно их выразив) КПД цикла 1-2-3-1 и таким же способом КПД цикла 1-2-4-1. Сравните их.

25.Прямой цикл тепловой машины состоит из четырех процессов: изобарического расширения (1-2), изотермического расширения (2-3), изобарического сжатия (3-4), изотермического сжатия (4-1). Известно, что температура рабочего тела в одном из названных изотермических процессов в 3 раза больше, чем в другом изотермическом процессе, а количество теплоты, полученное рабочим телом в процессе 2-3, в 2 раза больше, чем полученная им в процессе 1-2. Определите КПД такого цикла. Рабочее тело – гелий.

Совет. Изобразите данный цикл на диаграмме . Обозначьте температуру одной изотермы символом , а другой – символом (сообразите, какие это изотермы). Обозначьте также давление и объем гелия в состоянии 1 символами и . Введите постоянную величину и обозначьте давление в состоянии 4 символом . Тогда, применяя уравнение состояния идеального газа, выразите через значение объема в состоянии 2, а затем в состояниях 4 и 3.

Обозначьте символом полученное гелием в процессе 1-2 количество теплоты (и покажите на диаграмме цикла). Учитывая общее определение количества теплоты в изобарическом процессе (через и ), легко сообразить, какое количество теплоты отдает гелий в процесс 3-4 (покажите на рисунке). Так как на участке 2-3 газ получает по условию задачи количество теплоты , то эту величину можно выразить известной формулой через температуру и натуральный логарифм отношения объемов в состояниях 3 и 2. Записав аналогичную формулу для , удастся выразить через (покажите на рисунке). В итоге легко определяются и через и находится КПД цикла.

26.Над идеальным одноатомным газом совершается цикл 1-2-3-1, в котором 1-2 − изохора, 2-3 − изобара, а 3-1 − процесс с линейной зависимостью давления от объема (рис. 25). Известно, что . Чему равен КПД цикла?

Совет. Определите количества теплот , и работу в цикле сначала через величины , , , , , , (см. рис. 25), а затем выразите их, применяя уравнение состояния идеального газа, через (количество газа), (универсальную газовую постоянную) и . Подсчитайте КПД цикла посредством величин и .

27. Определите КПД цикла 3-5-6-7-3, если КПД цикла 1-2-3-4-1 (рис. 26). Циклы состоят из изобар и изохор, рабочее тело − идеальный одноатомный газ.

Подсказка. Определите для цикла 1-2-3-4-1 получаемые рабочим телом количества теплот − сначала их выразите через теплоемкости , и разности температур, а затем, применяя уравнение состояния идеального газа, представьте через давления и объемы (обозначенные на рис. 26). Работу в этом цикле легко определите из геометрии (рис. 26). Тогда Вы получите выражение КПД через величины , , , , , , . Из симметрии обоих циклов следует аналогичное выражение КПД . Из этих двух выражений (учитывая, что ) определите через .

28. Определите отношение КПД двух циклов: 1-2-3-4-1 и 5-6-7-4-5 (рис. 27). Циклы состоят из изобар и изохор. Рабочее тело − идеальный газ.

Совет. Сообразите, почему искомое отношение равно обратному отношению полученных рабочим телом в этих циклах количеств теплоты. Последние определите по стандартным формулам через , и разность температур (которые сразу выражайте по уравнению состояния идеального газа посредством , , ).

29. Цикл тепловой машины состоит из процессов 1-2 изохоры, 2-3 изобары и процесса 3-1, в котором давление и объем связаны линейной зависимостью (рис. 28). Рабочее тело − идеальный одноатомный газ. Каков возможен максимальный