Первая интерполяционная формула Ньютона.

Пусть для функции заданы значения для равноотстоящих узлов , где – шаг интерполяции.

Необходимо подобрать полином

. (4.3)

Условия (4.1) эквивалентны тому, что

, при .

Следуя Ньютону, будем искать полином

(4.4)

Таким образом задача сводится к определению коэффициентов в выражении (4.4).

Полагая , получим .

Далее находим первую конечную разность и полагая , получим

откуда

Берем вторые разности и т.д. и вычисляем по формуле;

; .

Введем в рассмотрение новую переменную – число шагов, необходимых для достижения точки из точки

( ), получим:

. (4.5)

Это и есть первая интерполяционная формула Ньютона, которая применяется для интерполирования функций , в окрестности начального значения, где q мало по абсолютной величине!

Если в (4.5) положить n=1, то получим (4.6)–формулу линейного интерполирования

(4.6)

При n=2 – формулу параболического или квадратичного интерполирования:

.

Если дана неограниченная таблица , то n выбирают так, чтобы .

Если таблица закончена, то n не может превышать k-1, где k – число строк таблицы.

При применении 1-й интерполяционной формулы Ньютона удобно пользоваться горизонтальной таблицей разностей.

Пример: Построить на отрезке [3,5; 3,7] интерполяционный полином Ньютона для функции , заданной с шагом h=0,05.

	3,50	3,55	3,60	3,65	3,70
	33,11	34,813	36,598	38,475	40,447

Решение: Составляем таблицу разностей:

3,50 3,55 3,60 3,65 3,70	33,115 34,813 36,598 38,475 40,447	1,698 1,785 1,877 1,972	0,087 0,092 0,095	0,005 0,003

то n=3, то

или

где

Можно упорядочить полином по степеням х, подставив значение q.

Вторая интерполяционная формула Ньютона.

Для интерполирования функции в конце таблицы применяется вторая интерполяционная формула Ньютона.

(4.7)

Вывод формулы (4.7) аналогичен выводу 1-й интерполяционной форму-лы. Теперь только коэффициент полинома то есть (коэффициент ) определяется из равенств

(4.8)

Введем в (4.8) обозначение ,

тогда

и т. д.

В результате получим формулу (4.9):

. (4.9)

Пример: дана таблица значений семизначных логарифмов:

Найти lg1044.

Решение: Составляем таблицу конечных разностей

	3,0000000 3,0043214 3,0086002 3,0128372 3,0170333 3,0211893		-426 -418 -409 -401

Примем тогда .

По формуле (4.3) вычислим

В результате все знаки верные.

Таким образом, первая интерполяционная формула Ньютона применяется для интерполирования вперед и экстраполирования назад (за границы интервала). Вторая формула для интерполирования назад и экстраполирования вперед. Операция экстраполирования менее точна.

Оценки погрешностей интерполяционных формул Ньютона.

Если узлы интерполирования равноотстоящие, причем то, полагая , получим остаточные члены для 1-й и 2-й интерполяционных формул Ньютона (4.10), (4.11):

(4.10)

, (4.11)

где – некоторое промежуточное значение между узлом интерполирования и точкой (для интерполирования , для экстра-полирования возможно, что ).

При расчетах порядок n-разностей выбирается таким, что . Учитывая, что h достаточно мало и , что ,

можно предположить:

(4.12)

При этом остаточные члены интерполяционных формул Ньютона будут равны

Пример: В пятизначных таблицах логарифмов даются логарифмы целых чисел от х=1 000 до х=10 000 с предельной абсолютной погрешностью, равной . Возможно ли линейное программирование с той же степенью точности?

Решение: , то где

Отсюда , так как , а .

Из формулы (4.1) при n=11 и h=1 получаем:

Так как (интерполируем не далее, чем на 1 шаг), то ;

.

Окончательно получаем

Таким образом погрешность интерполирования не превосходит погрешностей исходных данных!

Линейное интерполирование (h=1) возможно. Интерполяционные формулы Ньютона используют лишь значения функций, которые лежат лишь по одну сторону от выбранного начального значения. Для интерполирования в середине таблицы удобно применять формулы, содержащие как последующие, так и предшествующие значения функций по отношению к начальному ее значению. При этом используются центральные разности.

Интерполяционные формулы, построенные с помощью центральных разностей, – это формулы Гаусса, Стирлинга, Бесселя.