Лабораторная работа 6. Методы численного интегрирования

Требования к оформлению отчета

1) название, цель и задание на работу;

2) алгоритм (или блок-схему) решения задачи;

3) текст программы на Mathcadе;

4) результаты работы программы;

5) проверку решения.

Вспомогательные материалы

Пример разработки программы для решения задачи численного интегрирования в системе Mathcad

Вычисление по квадратурным формулам прямоугольников, трапеций и Симпсона.

Пример:

Найти приближенные значения интеграла с помощью квадратурных формул прямоугольников, трапеций и Симпсона, если отрезок интегрирования [0;1] разбит на n=2,4,10 равных частей. Оценить величину погрешности полученных результатов в каждом случае.

Решение:

Найдем производные подынтегральной функции до четвертого порядка включительно и максимальные абсолютные значения производных второго и четвертого порядка на отрезке [0;1]:

; ;

; ;

; ;

При n=4 получим следующие погрешности результатов:

;

;

.

Таблица 5.1

Оператор языка Pascal	Оператор MathCAD	Комментарий
A := B		Присваивание
Begin оператор1; оператор2; … End		Группа, объединяющая несколько операторов в один составной оператор. Для создания группы и добавления в нее новой пустой строчки используется кнопка «Add Line» панели Programming
If условие Then оператор If условие Then Begin оператор1; оператор2; … End	оператор if условие	Простой оператор ветвления. Как и в языке Pascal, его действие распространяется на один указанный оператор, который может быть группой операторов. Условием может быть любое логическое выражение, которое может содержать знаки отношения (вместо обычного знака равенства используется знак логического равенства) и логические операторы (находятся на панели Boolean): - Not; - And; - Or; - Xor
If условие Then оператор1 Else оператор2		Полный оператор ветвления
Окончание табл. 5.1
For инд := нач To кон Do оператор		Фиксированный оператор цикла. Индексная переменная принимает значения от начального до конечного с шагом, равным единице. Цикл действует на один указанный оператор, который может быть группой операторов
While условие Do оператор		Гибкий оператор цикла с предусловием. Цикл выполняется, пока истинно заданое условие
Нет прямого аналога	выражение1 on error выражение2	Специальная операция обработки ошибок. Сначала вычисляется выражение2. Если при этом происходит ошибка, то результатом операции будет выражение1. Если ошибки нет, то результат- выражение2. Пример: Здесь локальная переменная A получает значение 2, переменная B - значение 0,5

Если функция является программным блоком, то значение, которое возвращает функция – это обычно значение, вычисленное последним сработавшим оператором блока. Достоинством MathCAD’а является то, что не следуем заботиться об определении типов переменных: MathCAD осуществляет это сам.

Назовем данную функцию fun(x) и присвоим локальной переменной значение заданной функции:

Расчет интеграла по формуле прямоугольников

InSguare(0,1,2) = 1,753

Рассчитаем погрешность интегрирования с помощью функции

Расчет интеграла по формуле трапеций. Аналогично, как в предыдущем примере рассчитываем интеграл, с той лишь разницей, что теперь интеграл будет равен сумме элементарных трапеций, площадь которых хранится в переменной х2.

Рассчитаем погрешность с помощью функции:

Расчет интеграла по формуле Симпсона. Рассчитаем интеграл через полученные значения по формулам прямоугольников и трапеций, используя формулу:

.