Каждое алгебраическое дополнение Cij - определитель порядка n-1, который также может быть разложен и т.д.

Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен 0.

III.2 Ранг

Рангом матрицы (любой, в том числе и неквадратной) называется порядок наибольшего отличного от нуля определителя, который можно вычислить по данной матрице.

Пример 1.

А = |А|=0 Удалив 2-ую строку и 3-ий столбец, получим: = -6 R = 2 (ранг = 2)

В данном примере столбцы линейно-зависимы

k₁ + k₂ = 0

При k₁=1; k₂=-2; k₃=1

(Действительно, получаем 3 уравнения с 3-мя неизвестными:

разрешив эту систему, получим k₁=k₃= -0,5k₂

Множество решений. Одно из них k₁=1; k₂=-2; k₃=1).

Пример 2.

А = имеет ранг <=3, матрица [3х4].

Таким образом ранг матрицы равен максимальному числу линейно-независимых векторов (строк или столбцов).

Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей.

III.3 Матрица алгебраических дополнений (cof A) - это матрица, элементы которой являются алгебраическими дополнениями исходной матрицы.

Пусть А = ; cof A = cof

Сij = (-1)^i+jM_ij

C₁₁=(-1)²M₁₁=M₁₁=2

C₁₂=(-1)³M₁₂= -M₁₂=44 и т.д.

т.е cof A =

Присоединенной матрицей (adj A) называется транспонированная матрица алгебраических дополнений

adj A = (cof A)' =

III.4 Обратная матрица

Обратная матрица равна присоединенной матрице, умноженной на число, обратное определителю исходной матрицы.

А^-1 =

Любую систему линейных уравнений удобно представить в матричной записи.

Систему

Можно записать в виде

AX = b,

где А = (a_ij); X= ; b=

Если марица А - квадратная и неособенная, то вектор решения находится как

Х = А^-1b

Существует простая вычислительная схема для получения решения и (или) обратной матрицы - метод полного исключения Жордана-Гаусса. Решение находится за m итераций.

Рассмотрим метод на примере.

Имеем систему:

(1)

Здесь A = - матрица неособенная. Систему (1) можно записать в виде:

В векторном виде, полагая P₁= P₂=

P₃= P₀=

Получим

P₁х₁+ P₂х₂+ P₃х₃= P₀ (2)

Т.к А - неособенная матрица, то система векторов P₁, P₂, P₃ линейно-независимо и, следовательно, образует базис в трехмерном пространстве.

Базисом пространства называется такая система векторов, что произвольный вектор пространства выражается единственным образом в виде линейной комбинации этих векторов.

Действительно, любой другой вектор, пусть Р₄, может быть найден единственным образом через векторы P₁, P₂, P₃, т.е. Р₄= P₁ y₁+ P₂y₂+P₃y₃, или, что то же самое

Р₄ = АY, где Y - вектор коэффициентов

Вектор Y находится как

Y= А^-1Р₄

Таким образом, задавая любой вектор Р₄ в 3-х мерном пространстве, можно найти его разложение по базису.

Случай, когда вектор может быть выражен линейной комбинацией векторов, число которых меньше его размерности, называется вырожденным.

Решить систему (2), значит найти коэффициенты x₁, x₂, x₃ разложения вектора Р₀ по базису P₁, P₂, P₃.

Процесс решения состоит в последовательном исключении первой, второй, третьей и т.д. переменных из всех уравнений, кроме первого, второго и т.д. соответственно.

Для системы (1) первый шаг состоит в исключении х1 из всех уравений, кроме первого.

Шаг 1.

а) Первое уравнение умножаем на 2 и складываем со вторым.

б) Первое уравнение умножаем на -1, складываем с третьим.

Получаем:

Шаг 2. Исключаем х₂ из всех уравнений, кроме второго. Уравнения должны быть расположены таким образом, чтобы коэффициент при х₂ во втором уравнении не был равен нулю. В начале итерации удобно сделать коэффициент при исключаемой переменной равным 1. Для этого делим второе уравнение на 3. Коэффициент 3 - направляющий элемент. (в шаге 1 направляющий элемент а₁₁=1)

Умножая преобразованное второе уравнение:

на -1 и складывая его с первым, получим

Шаг 3. Теперь направляющий элемент 2. Поделив на 2 третье уравнение, полученное после шага 2, и умножив результат на и , сложим полученные уравнения с 1-ым и 2-ым соответственно. Получим:

- это решение системы (1)