Из формулы Тейлора при всех x получим

(**) f( +x) - f( ) =

Допустим, что теорма неверна, т.е. <0.

Тогда при малых x правая часть уравнения (**) - отрицательна, т.е.

f( +x) - f( ) < 0,

т.е. - не является точкой минимума, что противоречит нашему условию.

Таким образом в точке локального минимума >=0.

Условия - необходимое условие минимума.

Достаточность не всегда выполняется.

Пример: f(x) =

В точке =0

=0

Необходимые условия выполняются, но х=0 - точка перегиба.

I.4 Достаточные условия

Т. 1.4. Для того чтобы в точке функция f(x) имела безусловный локальный минимум, достаточно, чтобы ее вторая производная была в точке положительна.

Доказательство теоремы 1.4 основано на использовании формулы Тейлора.

Теорема 1.5., обобщающая полученные результаты

Пусть f(x), определенная на множестве Х=Е₁, имеет имеет непрерывные производные до k-ого порядка включительно, причем в некоторой точке

Тогда, если k - четное число, то функция f(x) имеет в точке локальный максимум при и локальный минимум при .

Если k - нечетное число, то f(x) не имеет в точке ни максимума, ни минимума.

II Функция многих переменных

II.1 Необходимое условие экстремума

Пусть теперь х - вектор размерности n, т.е. Х=Е_n, а функция f(x) - скалярная величина.

Пусть - точка ее безусловного локального экстремума. Зафиксируем все переменные, кроме х^j. Тогда получим функцию одной переменной х^j.

f( ),

Для которой доказано необходимое условие.

Аналогично поступая со всеми переменными, получим теорему.

Т. 2.1 Для того, чтобы в точке функция f( ) имела безусловный локальный экстремум, необходимо, чтобы все ее частные производные обращались в точке в нуль:

=0, i=1, 2, ... , n (1)

Условие стационарности (1) записывается также в виде

grad f( ) = ▼f( ) = 0

f '( ) = 0.

▼f( ) = f '( ) - n-мерный вектор с компонентами

( ), i = 1, ..., n - градиент функции f(x) в точке .

Условие (1) эквивалентно равенству нулю дифференциала функции f(x)

df( ) = 0,

т.к. df( )= .

II.2. Необходимое условие второго порядка. Достаточные условия

Полагая функцию дважды непрерывно дифференцируемой по всем переменным, разложим ее в ряд Тейлора:

(2) f( +x) = f( ) + ( ) +0(|| |

(первые частные производные =0 по определению стационарной точки)

( ) - элементы матрицы вторых производных (матрица Гессе - Н).

H = f ''( ) =

Выражение

- квадратичная форма.

Если А - квадратная симметрическая матрица порядка n, а Х - вектор размерности n, то выражение X'AX= ;

Называется квадратичной формой.

В частности, уравнение второго порядка (квадратное) можно записать как квадратичную форму

Z=

Z=

Квадратичная форма называется положительно определенной, и матрица А называется положительно определенной, если все главные миноры А положительны, т.е. А11>0 >0; и т.д. [A]>0.

Квадратичная форма неотрицательно определена, если >=0 и положительно определена, если >0.

С учетом записи (2) получаем теорему:

Т 2.2 Для того чтобы дважды непрерывно дифференцируемая функция n переменных f(x) имела в стационарной точке безусловный локальный минимум (максимум), необходимо, чтобы матрица ее вторых производных была неотрицательно (неположительно) определенной, и достаточно, чтобы она была положительно (отрицательно) определенной.

Пример: Определить экстремальные значения функции

f(x)= , a¹0, b¹0, xÎE₂

Необходимые условия

=0;

=0; = - стационарная точка

Коэффициенты квадратичной формы ; = 0; .

Имеем следующие случаи:

1) a>0; b>0 матрица вторых производных положительно определена, в точке {0, 0} - минимум.

Условия Сильвестра: а₁₁>0; - положительно определена.

(-1)ⁿа₁₁>0, , (-1)ⁿ - отрицательно определена.

2) a<0; b>0; - экстремума нет

3) a>0; b<0; - экстремума нет

4) a<0; b<0; - функция f(x) имеет в точке {0, 0}^T максимум.

Случаи 1), 4) - поверхности являются эллиптическим параболоидом.

Случаи 2), 3) - гиперболический параболоид, имеющий стационарную точку типа "Седло".

Численные методы отыскания безусловного экстремума

I. Введение