Дисперсия параметра оптимизации

Мы рассмотрели, как по дочитывается дисперсия ж каждом опыте, т. е. в каждой горизонтальной строке матрицы планиро­вания.

Матрица планирования состоит из серии опытов, и диспер­сия всего эксперимента получается в результате усреднения дис­персий всех опытов. По терминологии, принятой в планировании эксперимента, речь идет о подсчете дисперсии параметра опти­мизации sfy} или, что то же самое, дисперсии воспроизводимости эксперимента s^_oei!y.

Вы помните, что дисперсия в каждом опыте, состоящем из п повторных наблюдений, подсчитавается по формуле

^(Vi-y)²

При подсчете дисперсии параметра оптимизации квадрат раз­ности между значением y_s в каждом опыте и средним значением из п повторных наблюдений у нужно просуммировать по числу опытов в матрице N, а затем разделить на N (п—1).

Так мы приходим к формуле

N п

„2 ____ 1 1____________

— N (п — 1) '

где 2=1,2........... N; д=1, 2,...,п.

Такой формулой можно пользоваться в случаях, когда число повторных опытов одинаково во всей матрице.

Для двух повторных опытов формула принимает совсем про­стой вид

N 2 2

„2 __ _1_________

— yv

Дисперсию воспроизводимости проще всего рассчитывать, когда соблюдается равенство числа повторных опытов во всех экс­периментальных точках. На практике часто приходится сталки­ваться со случаями, когда число повторных опытов различно. Это происходит вследствие отброса грубых наблюдений, неуверен­ности экспериментатора в правильности некоторых результатов (в таких случаях возникает желание еще и еще раз повторить опыт) и т. п.

Тогда при усреднении дисперсий приходится пользоваться средним взвешенным значением дисперсий, взятым с учетом числа
степеней свободы

к

* —⁺*^у*⁺ • • •⁺ S ^Jf

^sw — f_1+h + ...+/

где sf — дисперсия первого опыта, s^ — дисперсия второго опыта и т. д., /_х — число степеней свободы в первом опыте, равное числу параллельных опытов п_г минус 1, т. е. fi—щ—1; /₂ — число сте­пеней свободы во втором опыте и т. д.

Число степеней свободы средней дисперсии принимается рав­ным сумме чисел степеней свободы дисперсий, из которых она вычислена.

, Обращаем ваше внимание на то, что вы совершите ошибку, если возьмете среднее значение дисперсий без учета числа степе­ней свободы, а также если возьмете среднее значение стандарт­ных отклонений. Стандартные отклонения нужно возвести в квад­рат и затем взять взвешенное среднее, как указано выше.

Случай С- неравным числом наблюдений, который мы рассмо­трели выше,' связан с нарушением ортогональности матрицы. Поэтому здесь нельзя использовать расчетные формулы для ко­эффициентов, приведенные в гл. 6. и 7.

Этот вопрос мы рассмотрим в гл. 9, когда будем рассказывать о расчете дисперсии адекватности.

Итак, вы имеете формулы для расчета дисперсии] воспроизво­димости эксперимента. Казалось бы, все обстоит хорошо. И все же. . . вы уже, наверное, чувствуете, что¹ речь пойдет о «неко­торых» ограничениях. Действительно, это так. Формулами

22 2 f<^s<

^sl) = ¹ N_{n-i)----------- ^{и S}U — ^J-

1

можно пользоваться только в том случае, если дисперсии одно­родны. Последнее означает, что среди всех суммируемых ди­сперсий нет таких,' которые бы значительно превышали все остальные.

Одним из требований регрессионного анализа, с которым вы познакомитесь в следующей главе, является однородность дис­персий.

Вы, конечно, понимаете, что для проверки неоднородности дисперсий нужны количественные критерии. Для того чтобы познакомиться с ними, нужно перейти к следующему пара­графу.

8.5. Проверка однородности дисперсий

Проверка однородности дисперсий производится с помощью различных статистических критериев. Простейшим из них является критерий Фишера, предназначенный для сравнения двух дисперсий. Критерий Фишера (/^-критерий) представляет собою отношение большей дисперсии к меньшей. Полученная величина сравнивается с табличной величиной /^-критерия (см. стр. 152).

Если полученное значение дисперсионного отношения больше приведенного в таблице для соответствующих степеней свободы и выбранного уровня значимости, это означает, что дисперсии значимо отличаются друг от друга, т. е. что они неоднородны.

Пример 3. Пусть s|=5,14, щ—7 и /1=6; s|==0,324 для п₂=6 и /₂—5. В дан­ном примере отношение дисперсий равно 5,14/0,324=15,9 при =6 и /₂=5 Почти в каждом пособии по математической статистике помещена таблица отношений дисперсий для различных степеней свободы и различного уровня значимости. Имеется она и в нашей книге. Выбираем наиболее популярный уровень значимости 0,05. В таблице по горизонтали отложены числа степе­ней свободы для большей дисперсии /₁₅ а по вертикали — числа степепей свободы для меньшей дисперсии /₂. Для Д=6 и /₂=5 F_Tt6j=4,40. Это значит: вероятность того, что экспериментальное значение F будет больше чем 4,40, равна 0,05 или 5%. Наше ^_8ЖСП=15,90. Оно значительно превышает таблич­ное зйачение.

Мы проверяли гипотезу об однородности дисперсий. Наша гипотеза состояла в том, что обе группы экспериментальных дан­ных получены из одной и той же совокупности и дают одинаковое рассеяние. Установили, что одна дисперсия значимо отличается от другой (для выбранного уровня значимости).

Если сравниваемое количество дисперс-й больше двух и одна дисперсия значительно превышает остальные, можно воспользо­ваться критерием Кохрена. Этот критерий пригоден для случаев, когда во всех точках имеется одинаковое число повторных опы­тов. При этом подсчитывается дисперсия в каждой горизонталь­ной строке матрицы

п

Ъ^-У)*

а затем из всех дисперсий находится наибольшая s_ml_x, которая делится на сумму всех дисперсий. Критерий Кохрена — это от­ношение максимальной дисперсии к сумме всех дисперсий

S²

х

С »тжм критерием связаны числа степеней Яфёоды /_x=re-— 1 и f_t—N. Гипотеза об однородности дисперсий подтверждается,

9 Зака» N 588
если экспериментальное значение критерия Кохрена не превы­шает табличного значения. Тогда можно усреднять дисперсии и пользоваться формулой

N п

2 2 ^{у*ч — у<)²

N(n — i)

Пример 4. В начале главы, показывая, как нужно оформлять журнал, мы привели матрицу 2³ с двумя повторными опытами. Мы сказали: вот с та­кой таблицей можно приступать к обработке экспериментальных данных. Воспользуемся зтой таблицей для расчета дисперсии воспроизводимости. Перепишем ее так, чтобы было удобно производить расчет (табл. 8.4).

Таблица 8.4

Расчет дисперсии воспроизводимости

Дисперсия в каждом опыте равна 2 2

Максимальная дисперсия оказалась в опыте № 4. Экспериментальный критерий Кохрена равен 6=1,620/5,214=0,31. Табличный критерий Кохрена равен: G=0,68. Экспериментальный критерий Кохрена не превышает значения табличного. Гипотеза об однородности дисперсий подтверждается»

Дисперсия воспроизводимости равна

1 2 • 2,607 "{*> =------ 8----- = 8 = ⁰-⁶⁵²-

Пример 5. Теперь обратимся к примеру с различным числом повторных опытов (табл. 8.5)

Проведем подсчет дисперсии в каждом опыте и дисперсию воспроивво- димости (если не возникнет предположение, что дисперсии неоднородны).

Таблица 8.5

Матрица планирования 2*^-1 с различным числом повторных опытов *

= (0,422 + 0,422)/(2 - 1) = 0,844; si = (0,062 + 0,062)/(2 - 1) =0,124; s§ = (0,422 + 0,723 + 0,122 + 0,022)/(4 - 1) = 0,429; si = (0,137 + 0,281 + 0,029)/(3 — 1) =0,223; ₂ 0,844-1 +0.124-1 +0,429-3 + 0,223-2 2,701 ^s{y)— ,1 +1 + 3 + 2 — 7 —^U,38b'

В данном примере не возникает предположение о неоднород­ности дисперсий, поскольку все они имеют одинаковый порядок.

Если возникает предположение о наличии неоднородности, следует попытаться его проверить. Для этой цели можно вос­пользоваться критерием Бартлета. По уже знакомой вам формуле подсчитывается дисперсия воспроизводимости

я i n

1 /1 Далее находится величина

где с«0,4343^1 H-j^^-fj .

Здесь число степеней свободы равно N—1, где N — число сравниваемых дисперсий. При планировании эксперимента типа 2 это число равно числу опытов в матрице,

Бартлет показал, чш величина-^-^/lgs'^—^ПР^И"

ближенно подчиняется ^-распределению с (N—1) степенями свобо­ды. Значимость критерия Бартлета проверяется обычным способом.

Критерий Бартлета базируется на нормальном распределе­нии. Если имеются отклонения от нормального распределения, то проверка неоднородности дисперсий может привести к оши­бочным результатам.

Пример 6. Предлагаем вашему вниманию следующую задачу. В четырех опытах с неравным числом повторных наблюдений получены результаты, приведенные в табл. 8.6.

мы получаем: и s|_yj=5,79. Находим величину с

с = 0,4343 1

3 (4 -1)

Теперь мы можем определить х²

X² = "ol850 (^{15 lg 5,79 - 4 lg 3}'⁵⁰ '

— 3 lg 5,88 — 3 lg 11,36) = 1,567.

Экспериментальное значение х⁸-критерия равно 1,567. Табличное значе­ние для трех степеней свободы и уровня значимости 0,05 равно 7,815, и мы приходим к выводу, что дисперсии однородны.

Приступать к расчету ошибки воспроизводимости, к регрес­сионному анализу (а также к дисперсионному анализу, который мы не. рассматриваем в этой книге) можно только после того, как дисперсии выдержали проверку на однородность. Экспери­ментаторы часто пренебрегают такой проверкой, объясняя это трудоемкостью расчетов и сложностью критерия Бартлета.

Экспериментаторам, которым претит кропотливая работа при экспериментальных расчетах, можно предложить использование /^-критерия даже в тех случаях, когда число дисперсий больше двух. Делается это следующим образом. Из всех дисперсий вы­деляются наибольшая и наименьшая. По /^-критерию произво­дится проверка, значимо ли они различаются между собой. Ясно, что если наибольшая и наименьшая дисперсии не отличаются зна­чимо, то дисперсии, имеющие промежуточные значения, также не могут значимо отличаться друг от друга. Тогда всю группу дисперсий можно считать принадлежащей к единой совокупности. В таких случаях нет надобности применять критерий Бартлета.

Мы показали вам, как нужно проверять гипотезу об однород­ности дисперсий. Вы теперь знаете, какими формулами нужно пользоваться, если гипотеза об однородности дисперсий верна. А что же делать экспериментатору, если дисперсии все-таки оказались неоднородными? В таких случаях часто оказывается полезным изменение масштаба для параметра оптимизации. При этом вводится некоторая математическая функция от параметра оптимизации, например квадратный корень или логарифм.

Использование таких методов выходит за рамки элементар­ного анализа, и в случае необходимости экспериментатору целе­сообразно обращаться за советом к специалисту по планирова­нию эксперимента.

8.6. Рандомизация

Сотри случайные черты —■ И ты увидишь: мир прекрасен.

А. Блок

Чтобы исключить влияние систематических ошибок, вызван­ных внешними условиями (переменой температуры, сырья, ла­боранта и т. д.), рекомендуется случайная последовательность при постановке опытов, запланированных матрицей. Опыты необ­ходимо рандомизировать во времени. Термин «рандомизация» происходит от английского слова random — случайный. Почему рандомизация опытов важна, мы попытаемся показать на следую­щем примере.

Пример 7. В табл. 8.7 приведена матрица 2³, полученная из матрицы 2² обычным способом: два раза повторен план 2*, причем в первых четырех опытах х_я имеет верхнее значение, а в последних четырех опытах — нижнее значение. Допустим, что экспериментатор может поставить в первый день четыре опыта и во второй день также четыре опыта.

Можно ли опыты ставить подряд и в первый день реализовать опыты № 1, 2, 3 и 4, а во второй — 5, 6, 7 и 8? Ставя опыты подряд, вы разбиваете матрицу на две части или на два блока: в первый блок"входят опыты № 1» 2, 3 и 4, во второй — № 5, 6, 7 и 8. Если внешние условия первого дня ка­ким-то образом отличались от внешних условий второго дня, то это способ­ствовало возникновению некоторой систематической ошибки. Обозначим

ь»=-g-1 Сг/ж +«) + + 0 + (ys ++

+ (f4+«) — vs — у» — y-t — Ув1 -►Ps + y»

где Рз — истинное значение коэффициента при х_ъ. Таким образом, возможное различие во внешних условиях смешалось с величиной линейного коэффи­циента Ь_ъ и исказило это значение. В такой последовательности опыты ставить нельзя. Опыты нужно рандомизировать во времени, т. е. придать последо­вательности опытов случайный характер.

- Приведем простой пример рандомизации условий эксперимента. В полном факторном эксперименте 2³ предполагается каждое зна­чение параметра оптимизации определять по двум параллельным опытам. Нужно случайно расположить всего 16 опытов. При­своим параллельным опытам номера с 9 по 16, и тогда опыт № 9 будет повторным по отношению к первому опыту, десятый — ко второму и т. д. Следующий этап рандомизации — использование таблицы случайных чисел. Обычно таблица случайных чисел при­водится в руководствах по математической статистике. Фрагмент таблицы помещен на стр. 135. В случайном месте таблицы выпи­сываются числа с 1 по 16 с отбрасыванием чисел больше 16 и уже выписанных. В нашем случае, начиная с четвертого столбца, можно получить такую последовательность:

2; 15; 9; 5; 12; 14; 8; 13; 16; 1; 3; 7; 4;,6; 11; 10.

Это значит, что первым реализуется опыт № 2, вторым — опыт № 7 и т. д.

Выбранную случайным образом последовательность опытов не рекомендуется нарушать,

8.7. Разбиение матрицы типа 2^к на блоки

Если экспериментатор располагает сведениями о предстоящих изменениях внешней среды, сырья, аппаратуры и т. п., то целе­сообразно планировать эксперимент таким образом, чтобы эффект влияния внешних условий был смешан с определенным взаимо­действием, которое не жалко потерять. Так, при наличии двух партий сырья матрицу 2³ можно разбить на два блока таким об­разом, чтобы эффект сырья сказался на величине трехфакторного взаимодействия. Тогда все линейные коэффициенты и парные взаимодействия будут освобождены от влияния неоднородности сырья (табл. 8.8).

В этой матрице при составлении блока 1 отобраны все строки, для которых х_гх₂х₃=-\-1, а при составлении блока 2 — все строки, для которых х_гх₂х₃=—1. Различие в сырье можно рассматривать как новый фактор х₄. Тогда матрица 2³. разбитая на два блока, представляет собой полуреплику 2⁴"¹ с определяющим ьонграслом 1 —х^х^х^х^»

Мы предлагаем вам для данной матрицы (табл. 8.8) рассчи­тать все коэффициенты и посмотреть, какие коэффициенты сме­шаны с эффектом сырья:

^bo = J Itifi + ^е) + (г/а + «) + СУз + + (У* + ^е) + Уь + Уъ + У7 "Ь

V-P. + T'"

6i = -g-t-(fi + e) + (y2 + e) —+ + —

~ Уь + У & — У, + ftl*

К= J Г- (j/a + 0 - (У₂ + e) + (_Уя + s) + (щ + ₆) _

— Уь~ У« + Ут + Vsi

b.₂~* fa

K = jl(!/1 + ^S) — (Уз + ^е) -(f/₃ + f) + (j/i4-^£) -

— Уь + Ув + У? — ftl»

b ► 3 •

12 ^ i 12'

^bi3 = j l— (Vi +^s) — (г/г + e) -f (г/з +^f) + (y₄ +^s) + + & + Ув—г/?—УвЬ

К я~~* Раз»

b_12S = I [ (tfi + e) + (г/2 + + (г/з + ^s) + (г/4 + e) —

— Уь — Уъ — Ут — У^

h R -L —

^UV1V. Г123 I 2 '

Эффект сырья отразился на подсчете свободного члена Ь₀ и эффекта взаимодействия второго порядка Ь_пз.

Аналогично можно разбить на два блока любой эксперимент типа 2^к. Главное — правильно выбрать взаимодействие, которым можно безболезненно пожертвовать. При отсутствии априорных сведений выбирают взаимодействие самого высокого порядка: х,х₂х₈ для 2³, xjx₂x_gx₄ для 2⁴, х^х₂х^х₄х_а для 2⁵ и т. д. Т1о если экс­периментатору известно, что одно из парных взаимодействий ли­шено, например, физико-химического смысла, то можно пожерт­вовать парным взаимодействием.

В нашей практике встречалось много задач, в которых взаимо- деГгствия высокого порядка оказывались более значимыми, чем парные взаимодействия. Когда взаимодействие выбрано, в пер­вый блок группируются все опыты, в которых это взаимодействие равпо +1, а во второй, где оно равно —1.

Теперь посмотрим, как можно разбить матрицу на четыре блока. Пусть нужно поставить эксперимент 2⁴. Заведомо известно, что имеется четыре источника неоднородности, которые могут зна­чительно исказить результаты эксперимента. При наличии че­тырех источников неоднородности нужно матрицу 2⁴ разбить на четыре блока так, чтобы линейные эффекты были освобождены от влияния межблокового эффекта. Чтобы произвести разбиение матрицы 2¹ на четыре блока по четыре опыта в каждом, нужно выбрать три взаимодействия, которыми можно пожертвовать (число взаимодействий определяется числом степеней свободы, смешивающимися с различием между блоками: /=4—1=3). Два таких взаимодействия можно выбрать произвольно, а третье оказывается однозначно определенным по следующему правилу: нужно взять алгебраическое произведение первых двух выбран­ных взаимодействий и заменить единицей каждый множитель, стоящий в квадрате. Так, если двумя произвольно выбранными взаимодействиями являются парные х_лх_г и х_ях₄, то третьим будет х^ТзХ^ Если выбранными являются тройные х_гх₂х_в и х^х_?х₄, то третьим будет х_гх₄. При разбиении матрицы 2⁴ на четыре блока одно из парных взаимодействий окажется неизбежно смешанным с межблоковым эффектом

Пусть мы выбрали для смешивания три взаимодействия: Включаем в первый блок те опыты, которые имеют четное количество букв, одинаковых g буквами, входящими в символы трех выбранных взаимодействий (при этом удобно пользоваться кодовым обозначением матрицы с помощью латин­ских букв).

При разбиении на блоки принято обозначать факторы заглав­ными латинскими буквами. Мы будем пользоваться этими обозна­чениями наряду с нашими х_}.

Опыт (1), где все факторы на нижних уровнях, удовлетворяет этому условию, так как имеется 0 общих букв со всеми взаимо­действиями. Опыт Ъс также удовлетворяет этому условию, так как его символ имеет две общие буквы с x_tx₂x_a (ABC) и x₂x-,,x_i (BCD) и ни одной с (AD). Двумя другими, удовлетворяющими условию опытами, будут acd и abd, имеющие по две буквы со всеми взаимодействиями.

В результате получается блок 1 (табл. 8.9). Для определения состава следующего блока выбираем какое-либо неиспользованное испытание, например а, и умножаем на этот символ каждый член блока 1, получаем блок 2.

Блок 1 БЛОК 2 Блок 3 Блок 4

(1) а Ь d

Ъс abc е bed

acd cd abed ас

abd bd ad ab

Аналогичная операция проводится для определения состава бло­ков 3 и 4. Путем Выбора неиспользованного испытания Ъ по­лучаем блок 3, используя d — блок 4. Запишем эту матрицу

в кодовом обозначении +1 и —1 и проверим, какие взаимодей­ствия смешаны с межблоковым эффектом.

В матрице табл. 8.9 можно видеть, что в каждом блоке для всех эффектов, за исключением смешанных, соблюдается равенство числа +1 и —1. Следовательно, межблоковый аффект отразится на подсчете b₀, 6₁₄, Ь_пз и 6₂₃₄. Остальные коэффициенты регрессии освобождены от влияния источников неоднородности.

Матрицу типа 2^к ^можно разбить на количество блоков 2" (п — степень двойки) при п < к. Так, матрица 2³ разбивается на два блока по четыре опыта в каждом и на четыре блока по два опыта в каждом. Матрица 2⁴ — на два блока по восемь опытов в каждом, на четыре блока по четыре опыта и на восемь блоков по два опыта и т. д. Мы не имеем возможности подробно остана­вливаться на этом вопросе. С разбиением матриц на блоки вы можете познакомиться в работе [3,4]

8.8. Резюме

В этой главе мы обратили ваше внимание на то, что к опыту нужно тщательно готовиться: собрать и наладить опытную уста­новку, проверить приборы, подготовить -исходное сырье, разра­ботать журнал. Тщательная подготовка к опыту будет способ­ствовать уменьшению ошибки опыта. Ошибка опыта является суммарной величиной, состоящей из ряда ошибок: ошибок при измерении факторов, параметра оптимизации и ошибок при прове- дении₄опыта. Ошибки подразделяются ,на случайные и систематиче­ские. Для того чтобы компенсировать влияние систематических ошибок, опыты нужно рандомизировать во времени. Если экспери­ментатору^ заранее известны источники систематических ошибок, например > известно количество различных партий сырья, следует разбивать матрицу планирования на блоки. При этом межблоко­вый эффект заведомо смешивается с взаимодействиями, которыми экспериментатор может пренебречь.

Особое внимание следует уделять проверке однородности дисперсий, так как это — одна из предпосылок, лежащих в ос­нове регрессионного анализа. Для проверки однородности дис­персий можно использовать критерии Фишера, Кохрена или Бартлета. Очень важно отбросить грубые наблюдения — брак при постановке повторных опытов.

Воспроизводимость эксперимента является одним из важней­ших требований планирования эксперимента.

Литература

1. Н. Вейли. Статистические методы в биологии. М., ИЛ, 1962.

2. В. В. Налимов. Применение математической статистики при анализе вещества. М., Физматгиз, 1960.

3. Е. В. Маркова, А. Н. Лисенков. Планирование эксперимента в условиях неоднородностей. М., «Наука», 1973.

4. К. А. Враунли. Статистические исследования в производстве. М., ИЛ., 1949.

Глава девятая