Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальные уравнения первого порядка

Так как дифференциальное уравнение первого порядка (условимся в дальнейшем писать д.у.1) содержит независимую переменную х, функцию y и ее производную , общий вид д.у.1 будет выглядеть как

. (1)

Если уравнение (1) решить относительно производной , то оно может быть записано в виде . (2)

Так как , из выражения (2)

можно перейти к форме . (3)

Например, дифференциальное уравнение можно записать в виде затем, разделив уравнение на получим

или .

Наконец, можно получить .

Таким образом, формы записи дифференциальных уравнений (1) – (3) равноправны, можно пользоваться любой из удобных для решения.

Определение. Общим решением д .у.1 называется функция , которая зависит от одной произвольной постоянной с и

1) удовлетворяет данному д .у.1 при любом значении с;

2) каково бы ни было начальное условие , можно найти такое значение при котором функция удовлетворяет начальному условию. Например, для д .у.1 общим решением является функция

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию Для этого подставим в общее решение значение Получим

откуда Подставим найденное значение в общее решение;

– это искомое частное решение. Таким образом, всякое частное решение получается из формулы общего решения при конкретном значении с.

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка

И способы их решения

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Легко можно убедиться в том, что дифференциальные уравнения

не являются уравнениями с разделяющимися переменными. Они являются однородными уравнениями.

Определение. Дифференциальное уравнение называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка, если – однородная функция нулевого измерения.

Дадим понятие однородной функции нулевого измерения.

Определение. Функция называется однородной функцией нулевого измерения, если при любом t справедливо тождество

Так, функции – однородные функции нулевого измерения, т. к.

Чтобы проверить, является ли д. у.1 однородным уравнением, нужно в этом уравнении заменить Если после этого t всюду сократится и получится первоначальное уравнение, то данное уравнение – однородное.

Поэтому уравнение является однородным. Действительно,

сократив уравнение на t, получим исходное уравнение.

Решение однородного дифференциального уравнения

Первого порядка

Так как функция в правой части уравнения является однородной функцией нулевого измерения, то, по определению, Положим в этом тождестве получим т. е. однородная функция нулевого измерения зависит только от отношения у/х. Д.у.1 в этом случае примет вид

Сделаем подстановку y/x=u, т. е.

где неизвестная функция.

Тогда

Уравнение примет вид или или – уравнение с разделяющимися переменными.

Интегрируя, находим

Найдя отсюда выражение u как функции от x, подставим его в равенство получим искомое общее решение однородного д.у. 1. Чаще всего не уда-

ется найти явное выражение функции Тогда после интегрирования следует

в левую часть вместо u подставить В результате получим общий интеграл (т. е. общее решение в неявном виде).

Решим уравнения.

Пример 1.Найти общее решение дифференциального уравнения

Решаем уравнение подстановкой Подставив в данное уравнение, получим

или

Получили дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно вспомогательной функции Упростим правую часть:

Умножив на , получим уравнение с разделенными переменными

Интегрируя, получим

или

или

Потенцируем

Подставив получим общий интеграл данного дифференциального уравнения.

Проверка:

или – искомое уравнение.

Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения

при начальных условиях

Убедимся, что данное дифференциальное уравнение является однородным. Подставим в уравнение вместо соответственно Получим

Разделив на t обе части уравнения, получим данное уравнение. Решаем уравнение подстановкой

Поставим в уравнение, получим

Сгруппируем слагаемые с .

– это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив обе части на получим

– уравнение с разделенными переменными. Интегрируя левую и правую части уравнения, получим

Подставив получим общий интеграл данного дифференциального уравнения:

Найдем частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данным начальным условиям

Подставим в формулу общего интеграла

отсюда и частный интеграл

Допускающие понижение порядка

Рассмотрим некоторые типы д.у. II, решение которых сводится к решению дифференциальных уравнений первого порядка.

1-й тип. Простейший тип таких уравнений – это Дифференциальное уравнение содержит только вторую производную и некоторую функцию от х

(ни сама функция y, ни ее первая производная в уравнение не входят). Уравнение вида решается последовательным интегрированием два раза.

Пример 1.

Получили уравнение первого порядка

отсюда

^–

общее решение исходного уравнения (содержит две произвольные постоянные

и ).

Аналогично решаются и дифференциальные уравнения порядков выше второго, если они имеют такой же вид, например:

Пример 2.

–

общее решение данного уравнения.

Пример 3.

–

общее решение уравнения. Обратите внимание, общее решение дифференциального уравнения третьего порядка содержит три произвольные постоянные , а дифференциального уравнения четвертого порядка – уже четыре Допускают понижение порядка и дифференциальные уравнения вида

2-й тип. т. е. уравнения, в которые явно не входит сама искомая функция у. Решаются такие уравнения подстановкой где вспомогательная функция. Тогда Подставив в данное уравнение, получим уравнение – дифференциальное уравнение первого порядка.

Пример 4. Решить уравнение

(9)

Положим и уравнение примет вид

– (10)

это линейное уравнение первого порядка относительно функции

Решаем его подстановкой где

Получим

Функция

Исходное уравнение (9) решалось подстановкой Поэтому

Интегрируя, получим –

общее решение уравнения (9).

Пример 5. Найти частное решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям Применим подстановку

Получим уравнение .

Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными относительно функции р. Разделим переменные:

Интегрируя, получим

Откуда

Используем второе начальное условие получим

Следовательно,

а после интегрирования

Применим первое начальное условие получим

Искомым частным решением будет

Еще одним типом уравнений, допускающих понижение порядка, является уравнение вида

Й тип

т. е. уравнение, не содержащее явно независимую переменную х. Здесь порядок уравнения понижается на единицу путем следующей замены:

где

Здесь р – новая вспомогательная функция, а у играет роль независимой переменной. Тогда т. е.

Заметим, что вторая производная получена по правилу дифференцирования сложной функции.

Подставив выражения в данное уравнение, получим

–

уравнение первого порядка относительно р как функции от у.

Пример 6. Найти общее решение уравнения

(11)

Полагаем получим – (12)

это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Приведя его к

виду и интегрируя, получим

Так как исходное уравнение (11) решалось с помощью подстановки получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно искомой функции у от х .

Но так как произвольные постоянные, также произвольные постоянные. Поэтому полученный общий интеграл данного дифференциального уравнения можно записать в виде

т.е.

или

Пример 7.Найти частное решение уравнения при начальных условиях Применим подстановку Тогда

Получим уравнение первого порядка:

Разделив уравнение на получим

Это линейное уравнение первого порядка относительно функции

Решаем его подстановкой

Тогда

Интеграл справа берем по частям с помощью подстановки

Тогда

Таким образом,

Тогда функция

Таким образом, , или

Найдем значение из начальных условий

Таким образом

Заметим, что константа может быть обозначена как с, т. к. – произвольная константа тоже произвольная постоянная. Таким образом,

Найдем с из первого начального условия

Искомое частное решение имеет вид

Решение квадратных уравнений

Обратимся к решению квадратных уравнений

Формула корней квадратного уравнения:

где – дискриминант. Любое квадратное уравнение всегда имеет два корня (это известное положение высшей алгебры).

1) Если имеют

место два различных действительных корня.

2) Если Имеем два равных действительных корня.

3) Если то квадратное уравнение имеют два корня, но они не являются действительными числами. Эти корни называются комплексными числами.

Обозначим назовем мнимой единицей Тогда число вида где действительные числа, называется комплексным числом.Здесь называется действительной частью, мнимой частью комплексного числа. Для всякого комплексного числа существует комплексное число, ему сопряженное: Так, для числа сопряженным является число Два комплексных числа и являются взаимно сопряженными. Покажем примеры решения квадратных уравнений.

№ 1.

различные действительные корни.

№ 2.

различные действительные корни.

№ 3.

равные действительные корни.

№ 4. – различные корни.

№ 5.

Уравнение имеет два комплексных корня, взаимно сопряженных, c действительной частью и коэффициентом мнимой части

№ 6.

Уравнение имеет 2 взаимно сопряженных комплексных корня: где

Заметим, что всякое алгебраическое уравнение степени n имеет ровно n корней, среди которых могут быть как действительные (различные или равные), так и комплексные (обязательно попарно взаимно сопряженные).

№ 7.

Разложим левую часть уравнения на множители:

Нужно решить три простейших уравнения:

Имеем четыре корня:

Примеры решения однородных линейных дифференциальных

Уравнений высших порядков

№ 1.

–характеристическое уравнение

Общее решение:

или

№ 2.

– характеристическое уравнение.

Общее решение: или .

№ 3.

Общее решение:

№ 4.

– характеристическое уравнение.

Положим

Общее решение уравнения:

Второго порядка

Линейное неоднородное уравнение отличается от однородного функцией в правой части. Линейное неоднородное уравнение имеет вид

а соответствующее ему линейное однородное уравнение –

которое, как известно, решается с помощью характеристического уравнения (16)

Сформулируем теорему о структуре общего решения неоднородного уравнения (13).

Теорема 2.Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения равно сумме какого-либо частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения.

Пусть y – общее решение уравнения (13)

какое-либо частное решение уравнения (13),

общее решение соответствующего однородного уравнения (14)

Тогда

Таким образом, основная задача при решении неоднородного линейного д.у. II состоит в нахождении какого-либо частного решения.

Укажем один из методов нахождения частного решения неоднородного уравнения , когда правая часть уравнения имеет специальный вид. К таким функциям относятся следующие функции: экспонента многочлены n-й степени относительно переменной х тригонометрические функции а также их произведения.

Имеет вид

где – постоянные числа. Тогда вид частного решения определяется следующим образом.

а) Если число не есть корень характеристического уравнения (16), то частное решение имеет вид

где А и В – постоянные неопределенные коэффициенты.

б) Если число есть корень характеристического уравнения (16), то

Сделаем важное замечание. Даже тогда, когда в правой части уравнения стоит выражение, содержащее только или только следует искать частное решение в том виде, в каком оно было указано, т. е. с синусом и косинусом. Иными словами, из того, что правая часть не содержит или не следует, что частное решение уравнения не содержит этих функций.

Пример № 1. Решить уравнение

1)

2)

3) Сравним правую часть уравнения с . Здесь Так как числа не являются корнями характеристического уравнения, частное решение следует искать в виде

4) Найдем и запишем столбиком

Подставив эти выражения в данное дифференциальное уравнение, получим

или

Приравниваем коэффициенты при в левой и правой частях уравнения, получим систему уравнений:

Частное решение:

6) Общее решение данного дифференциального уравнения:

Пример № 2.Решить уравнение

1)

2)

3) Cравним правую часть уравнения с

Здесь Числа не являются корнями характеристического уравнения. Частное решение следует искать в виде

4) Запишем

Подставив в уравнение, получим

или

.

Частное решение:

5) Общее решение данного дифференциального уравнения:

Пусть правая часть неоднородного линейного д.у. II представляет собой сумму функций вида или

Частное решение этого уравнения следует искать в виде суммы частных решений двух уравнений:

и

№ 3.Решить уравнение

Здесь

1)

2)

3) При

.

4) При

5) Общее решение данного дифференциального уравнения:

или

7. Контрольные задания (задачи №№ 1 – 6)

Задача 1.Проверить, является ли указанная функция (а, б, ) решением данного уравнения

№ варианта	Уравнение	а	б
		,
№ варианта	Уравнение	а	б
	123456
	Последнее изменение этой страницы: 2016-06-10 lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда...