Решение однородных линейных дифференциальных уравнений

Второго порядка с постоянными коэффициентами

Дано дифференциальное уравнение

При решении характеристического уравнения возможны три случая.

1) Корни характеристического уравнения (16) действительны и различны: В этом случае частными решениями будут функции

;

при этом эти решения линейно независимы, т. к.

Тогда по теореме 1 общее решение уравнения (14) имеет вид

(17)

где произвольные постоянные.

2) Корни характеристического уравнения (16) действительны и равны: (обозначим их ). Тогда имеет место одно частное решение д.у. II Доказано, что второе частное решение имеет вид при этом очевидно, что эти решения линейно независимы. Тогда общим решением д.у. II будет

или (18)

3) Корни характеристического уравнения (16) комплексные сопряженные:

Тогда общее решение д.у. II имеет вид

. (19)

Рассмотрим примеры.

№ 1.

– характеристическое уравнение.

По формуле (17) находим общее решение дифференциального уравнения:

№ 2.

–характеристическое уравнение.

По формуле (18) получим общее решение дифференциального уравнения:

№ 3.

–характеристическое уравнение.

Уравнение имеет комплексные корни

По формуле (19) общим решением будет

или

№ 4.Найти частное решение уравнения при начальных условиях

Характеристическое уравнение:

Общее решение –

Найдем производную

Подставив начальные условия получим систему для определения

или

или

Подставив полученные значения в общее решение, получим – искомое частное решение.

Проверка. Найдем первую и вторую производные функции и подставим в данное дифференциальное уравнение:

–верное равенство, т. е. частное решение найдено верно.

Таким образом, решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами совершается без операции интегрирования функций (как в случае д.у.1) и полностью завершается посредством решения алгебраических квадратных уравнений. Аналогичный результат имеет место и для линейных однородных д.у. с постоянными коэффициентами высших порядков.

Примеры решения однородных линейных дифференциальных

Уравнений высших порядков

№ 1.

–характеристическое уравнение

Общее решение:

или

№ 2.

– характеристическое уравнение.

Общее решение: или .

№ 3.

Общее решение:

№ 4.

– характеристическое уравнение.

Положим

Общее решение уравнения:

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

Второго порядка

Линейное неоднородное уравнение отличается от однородного функцией в правой части. Линейное неоднородное уравнение имеет вид

а соответствующее ему линейное однородное уравнение –

которое, как известно, решается с помощью характеристического уравнения (16)

Сформулируем теорему о структуре общего решения неоднородного уравнения (13).

Теорема 2.Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения равно сумме какого-либо частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения.

Пусть y – общее решение уравнения (13)

какое-либо частное решение уравнения (13),

общее решение соответствующего однородного уравнения (14)

Тогда

Таким образом, основная задача при решении неоднородного линейного д.у. II состоит в нахождении какого-либо частного решения.

Укажем один из методов нахождения частного решения неоднородного уравнения , когда правая часть уравнения имеет специальный вид. К таким функциям относятся следующие функции: экспонента многочлены n-й степени относительно переменной х тригонометрические функции а также их произведения.