Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

Обратимся к весьма важным дифференциальным уравнениям, особенно часто встречаемым во всевозможных приложениях математики, именно к линейным уравнениям.

Определение. Дифференциальное уравнение второго порядка называется линейным, если оно первой степени (линейно) относительно искомой функции у и ее производных . Линейное уравнение второго порядка имеет вид

(13)

где – либо функции от х, либо постоянные. Функция , стоящая в правой части уравнения, называется правой частью уравнения. Будем рассматривать линейные д.у. II только с постоянными коэффициентами , т. е. . При уравнение

(14)

называется линейным однородным д.у.II с постоянными коэффициентами.

При уравнение называется неоднородным д.у. II с постоянными коэффициентами (или уравнением с правой частью).

Сформулируем теорему о структуре общего решения однородного линейного д.у.II с постоянными коэффициентами (14).

Теорема 1.Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения

имеет вид

где две произвольные постоянные; два частных решения уравнения (14), линейно независимых. Заметим, что два решения: – называются линейно независимыми, если их отношение не является постоянным,

т. е.

Например, функции линейно независимы, т. к.

Функции линейно зависимы, т. к.

Из теоремы 1 следует: чтобы найти общее решение уравнения (14), достаточно найти два частных решения этого уравнения. Вид уравнения (14) показывает, что частные решения этого уравнения следует искать прежде всего среди таких функций, которые в алгебраическом смысле подобны своим производным. Известно, что среди элементарных функций этим свойством обладает показательная функция, в частности экспонента. Поэтому, следуя русскому математику Эйлеру, будем искать частные решения уравнения (14) в виде

где

Так как подстановка выражений в уравнение (14) приводит его к виду

(15)

Так как при любом r, должно иметь место тождество

(16)

Таким образом, функция действительно удовлетворяет уравнению (14) (является его решением), если число r является корнем уравнения (16). Уравнение (16) называется характеристическим уравнением. Для составления его по данному дифференциальному уравнению (14) нужно заменить функцию y единицей, а производные соответствующими степенями при этом сохранить коэффициенты

Так, для дифференциального уравнения характеристическим будет уравнение Для уравнения – уравнение Для всякого линейного однородного д.у. II с постоянными коэффициентами характеристическим является алгебраическое уравнение второй степени (16) (квадратное уравнение).

Пример. Составить линейное однородное д.у.II, зная характеристическое уравнение Д.у. II будет таким:

Решение квадратных уравнений

Обратимся к решению квадратных уравнений

Формула корней квадратного уравнения:

где – дискриминант. Любое квадратное уравнение всегда имеет два корня (это известное положение высшей алгебры).

1) Если имеют

место два различных действительных корня.

2) Если Имеем два равных действительных корня.

3) Если то квадратное уравнение имеют два корня, но они не являются действительными числами. Эти корни называются комплексными числами.

Обозначим назовем мнимой единицей Тогда число вида где действительные числа, называется комплексным числом.Здесь называется действительной частью, мнимой частью комплексного числа. Для всякого комплексного числа существует комплексное число, ему сопряженное: Так, для числа сопряженным является число Два комплексных числа и являются взаимно сопряженными. Покажем примеры решения квадратных уравнений.

№ 1.

различные действительные корни.

№ 2.

различные действительные корни.

№ 3.

равные действительные корни.

№ 4. – различные корни.

№ 5.

Уравнение имеет два комплексных корня, взаимно сопряженных, c действительной частью и коэффициентом мнимой части

№ 6.

Уравнение имеет 2 взаимно сопряженных комплексных корня: где

Заметим, что всякое алгебраическое уравнение степени n имеет ровно n корней, среди которых могут быть как действительные (различные или равные), так и комплексные (обязательно попарно взаимно сопряженные).

№ 7.

Разложим левую часть уравнения на множители:

Нужно решить три простейших уравнения:

Имеем четыре корня: