Метод неопределенных коэффициентов

Этот метод иначе называется методом подбора частного решения уравне-ния (13) по виду правой части .

Пусть правая часть уравнения

имеет вид т. е. представляет собой произведение экспоненты на многочлен, где многочлен n-й относительно х. Тогда возможны следующие случаи.

1) Число не является корнем характеристического уравнения (16)

В этом случае частное решение нужно искать в виде

где многочлен той же степени, что и данный многочлен , но с неопределенными коэффициентами.

2) Число есть простой (однократный) корень характеристического уравнения (т. е. совпадает с одним корнем характеристического уравнения). В этом случае частное решение нужно искать в виде .

3) Число есть двукратный корень характеристического уравнения (т. е. совпадает с двумя равными корнями характеристического уравнения). В этом случае частное решение нужно искать в виде Неизвестные (неопределенные) коэффициенты многочлена находим из условия, что функция является решением уравнения (13), т. е. удовлетворяет этому уравнению.

Рассмотрим примеры, на которых покажем не только принцип применения метода, но и порядок оформлениярешения.

№ 1.Найти общее решение уравнения

1) Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

2) Запишем общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения:

3) Запишем формулу, по которой следует искать частное решение данного уравнения. Для этого сравним правую часть уравнения

с общим видом правой части:

– многочлен второй степени с коэффициентами 24; 16; –15.

В данном случае показательная функция , т. е. Так как не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения , частное решение нужно искать в виде

многочлен второй степени , неизвестные (неопределенные) коэффициенты А, В, С этого многочлена нужно найти, подставив выражения в данное уравнение.

4) Запишем столбиком:

Слева указаны коэффициенты 12, 7, 1, на которые следует умножить , чтобы получить левую часть уравнения В левой части получим многочлен второй степени с неопределенными коэффициентами, который должен быть равен данному многочлену второй степени в правой части. Два многочлена будут равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях х. Запишем столбиком полученные уравнения:

.

Получили систему трех уравнений с тремя неизвестными коэффициентами

А, В, С. Решив ее, найдем .

Частное решение:

5). Общее решение данного уравнения:

или

№ 2.Найти общее решение уравнения

1)

2)

3) Сравним правую часть данного дифференциального уравнения с Отметим, что совпадает с одним корнем характеристического уравнения; многочлен – число 3 – нулевой степени, т. е. . Поэтому частное решение следует искать в виде

4) Запишем

Подставив выражения с указанными коэффициентами в данное дифференциальное уравнение, получим

или

откуда Частное решение:

5) Искомое общее решение данного уравнения:

№ 3.

3) Сравним правую часть данного уравнения с

Отмечаем, что совпадает с одним корнем характеристического уравнения и многочлен х степени Поэтому частное решение следует искать в виде

4) Так как требуется найти удобнее записать в виде

Запишем столбиком:

Подставим выражения с указанными коэффициентами в данное уравнение. Получим равенство

Разделим уравнение на и упростим:

Частное решение:

5) Общее решение дифференциального уравнения:

Пусть правая часть уравнения (13)

Имеет вид

где – постоянные числа. Тогда вид частного решения определяется следующим образом.

а) Если число не есть корень характеристического уравнения (16), то частное решение имеет вид

где А и В – постоянные неопределенные коэффициенты.

б) Если число есть корень характеристического уравнения (16), то

Сделаем важное замечание. Даже тогда, когда в правой части уравнения стоит выражение, содержащее только или только следует искать частное решение в том виде, в каком оно было указано, т. е. с синусом и косинусом. Иными словами, из того, что правая часть не содержит или не следует, что частное решение уравнения не содержит этих функций.

Пример № 1. Решить уравнение

1)

2)

3) Сравним правую часть уравнения с . Здесь Так как числа не являются корнями характеристического уравнения, частное решение следует искать в виде

4) Найдем и запишем столбиком

Подставив эти выражения в данное дифференциальное уравнение, получим

или

Приравниваем коэффициенты при в левой и правой частях уравнения, получим систему уравнений:

Частное решение:

6) Общее решение данного дифференциального уравнения:

Пример № 2.Решить уравнение

1)

2)

3) Cравним правую часть уравнения с

Здесь Числа не являются корнями характеристического уравнения. Частное решение следует искать в виде

4) Запишем

Подставив в уравнение, получим

или

.

Частное решение:

5) Общее решение данного дифференциального уравнения:

Пусть правая часть неоднородного линейного д.у. II представляет собой сумму функций вида или

Частное решение этого уравнения следует искать в виде суммы частных решений двух уравнений:

и

№ 3.Решить уравнение

Здесь

1)

2)

3) При

.

4) При

5) Общее решение данного дифференциального уравнения:

или

7. Контрольные задания (задачи №№ 1 – 6)

Задача 1.Проверить, является ли указанная функция (а, б, ) решением данного уравнения

№ варианта	Уравнение	а	б
		,
№ варианта	Уравнение	а	б

Задача 2.Проверить, является ли функция y общим решением данного уравнения, найти его частное решение, удовлетворяющее указанному начальному условию

№ варианта	Уравнение	Общее решение (общий интеграл)	Начальное условие

Задача 3.Найти общее решение дифференциального уравнения (или частное решение, удовлетворяющее данному начальному условию)

№ варианта	Уравнение	Начальное условие
	а)	–
б)
в)	–
	а)	–
б)	–
в)
	а)
б)
в)	–
	а)
б)	–
в)
№ варианта	а)
б)	–
в) Уравнение	Начальное условие
	а)
б)	–
в)	–
	а)
б)	–
в)	–
	а)	–
б)	–
в)
	а)	–
б)	–
в)
	а)	–
б)
в)

Задача 4.Найти общее решение (общий интеграл) уравнения

№ варианта	а	б

Задача 5.Найти общее решение дифференциального уравнения

№ варианта	а	б
№ варианта	а	б
	а	б

Задача 6.Найти общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения, используя метод подбора коэффициентов частного решения (метод

неопределенных коэффициентов)

8. Примеры решения задач из контрольного задания

Задача 1.Проверить, являются ли указанные функции решениями уравнения

Решение

а)

Подставим в уравнение:

или

– верно,

т. е. – решениеуравнения.

б)

или

– неверно, т. е. не является решением.

Задача 2.Проверить, является ли функция общим решением уравнения и найти частное решение уравнения, удовлетворяющее начальному условию

Решение. Подставим функцию в данное уравнение:

– верно,

т. е. функция содержит произвольную постоянную с и является решением уравнения, эта функция является общимрешением. Подставим начальные условия в общее решение:

Найденное значение с подставим в общее решение.

– частное решение.

Задача 3.Найти общее решение дифференциального уравнения (или частное решение, удовлетворяющее данному начальному условию).

а) б) в)

Решение

а) Это дифференциальное уравнение является линейным, но проще решать его как уравнение с разделяющимися переменными.

Умножим на

или

;

– общее решение.

б)

Это однородное д.у.1, т. к. после замены на уравнение не изменится:

получим – исходное дифференциальное уравнение.

Решаем подстановкой:

.

Или – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные:

берем по частям по формуле : .

После подстановки

интеграл

Таким образом, получаем

Подставим

Это общий интеграл данного уравнения. Подставим начальные условия

отсюда

Искомый частный интеграл имеет вид.

в)

Разделим уравнение на

Это линейное дифференциальное уравнение. Решаем его подстановкой:

.

Так как получим или

– общее решение.

Задача 4.Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения:

а)

б)

Решение

а) или – дифференциальное уравнение 2-го порядка. Последовательно интегрируем дважды, применив предварительно

формулу тригонометрии

– общее решение.

б) – дифференциальное уравнение, допускающее понижение порядка. Решаем при помощи подстановки:

или

.

Это уравнение Бернулли относительно функции Решаем уравнение подстановкой:

Получим

Подставим выражение в уравнение

– общее решение уравнения .

Так как получим – дифференциальное уравнение 1–го порядка относительно функции

.

Интеграл зависит от знака поэтому положим Тогда

.

Общим решением данного уравнения будет

Задача 5.Найти общее решение уравнения

.

Решение.Это линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Решаем их с помощью характеристического уравнения.

или

– общее решение .

Здесь