Уральский социально-экономический институт

Уральский социально-экономический институт

Академии труда и социальных отношений

Кафедра высшей математики

Математика в экономике

Математический анализ

Программа, методические указания и индивидуальные задания для всех форм обучения

Семестровое задание №2

(Контрольная работа №2)

Челябинск

ББК 65в6 я73+22.17

М54

Математика в экономике. Математический анализ: Программа, методические указания и индивидуальные задания для всех форм обучения. Семестровое задание №2.( Контрольная работа №2)/Авторы-сост.: Забейворота В.И., Иванова В.Н., Завьялов О.Г., УрСЭИ АТ и СО. - 3 изд., доп. и перераб.; -Челябинск, 2006-84 с.

Авторы – составители Забейворота В.И.,к.т.н., доц., зав. каф.

прикладной информатики УрСЭИ

Иванова В.Н., к.т.н., доц. каф.высшей

математики УрСЭИ

Завьялов О.Г., к.ф.-м.н., доц., зав. каф.

высшей математики УрСЭИ

РецензентыДягелец И.Д., канд. экон.. наук, доц.

кафедрыэкономика промышленности ЮУрГУ.

Дыхнов А.Е., д-р техн. наук, проф.

Одобрено и рекомендовано к изданию ред.- издат.советом УрСЭИ (протокол № 2 от 29 октября 2006 г.)

© Уральский социально-экономический институт Академии труда и социальных отношений, 2006.

© Забейворота В.И, Иванова В.Н., Завьялов О.Г.,2006.

Общие указания

В курсе “Математика в экономике” студенты I курса изучают основы математического анализа. Изучение этого раздела математики занимает важное место в формировании экономистов высокой квалификации.

В случае возникновения затруднений студент может обратиться на кафедру высшей математики и информатики УрСЭИ за консультацией.

Необходимо строго придерживаться следующих правил:

1.Студент обязан делать контрольную работу №2 (семестровое задание №2 – дневная или вечерняя форма обучения) только своего варианта, отсылая ее в УрСЭИ на рецензирование в сроки, предусмотренные графиком.

2. Контрольную работу №2 (семестровое задание №2) следует выполнять в ученической тетради (отдельной для каждой работы) чернилами любого цвета, кроме красного, оставляя поля (3-4 см) для замечаний рецензента. Рекомендуется оставлять в конце тетради несколько чистых страниц для исправлений и дополнений в соответствии с указаниями рецензента.

3. На обложке тетради студент должен указать свою фамилию, имя,отчество, такженомер работы, ее название, номер зачетной книжки, номер варианта, номера решаемых задач, форму обучения,специальность, курс, номер группы (образец оформления обложки приводится ниже !!!). В конце работы необходимо привести список использованной литературы.

4. Перед решением задачи нужно полностью выписать ее условие. Если несколько задач имеют общую формулировку, переписывать следует только условие задачи нужного варианта. Решение каждой задачи студент должен сопровождать подробными объяснениями и ссылками на соответствующие формулы, теоремы и правила. Вычисления должны быть доведены до конечного числового результата (в виде десятичного числа). Ответы и выводы, полученные при решении задач, следует подчеркнуть.

5. После получения отрецензированной работы студенту необходимо исправить все отмеченные ошибки и недочеты. Если работа возвращена на доработку, то следует переделать те задачи, на которые указывает рецензент, а при отсутствии такого указания вся контрольная работа должна быть выполнена заново. Переделанная работа высылается на повторное рецензирование обязательно с не зачтенной ранее работой и рецензией к ней. При этом на обложке следует указать фамилию рецензента.

Работы, выполненные без соблюдения этих правил, к зачету не принимаются и возвращаются без рецензирования для доработки.

На экзамен студент должен явиться с контрольными работами, допущенными к собеседованию.

Номера задач индивидуального задания контрольной работы №2 определяются по таблице с помощью двух последних цифр зачетной книжки студента.

Например, для студента, имеющего зачетную книжку с номером

Э-87128, на пересечении горизонтальной колонки 2 и столбца 8 таблицы указаны следующие номера задач его индивидуального задания контрольной работы №2: 18, 48, 78, 108, 138, 168, 198, 228, 258, 288.

Челябинск

Математический анализ. Программа, методические указания и индивидуальные задания для всех форм обучения. Семестровое задание №2 ( Контрольная работа №2)

Составлены в соответствии с учебным пособием.

Ø Авторы: доц. Забейворота В.И., доц. Иванова В.Н., доц. Завьялов О.Г.

Математика в экономике. Основы математического анализа. УрСЭИ, Челябинск, 2002.

ПРОГРАММА КУРСА

Тема 3. Приложение производной

1. Правило Лопиталя.

2. Возрастание и убывание функции.

3. Экстремум функции.

4. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

5. Выпуклость и вогнутость функции, точки перегиба.

6. Асимптоты графика функции.

7. Полное исследование функции и построение ее графика.

8. Приложение производной в экономической теории.

Тема 7. Ряды

1. Понятие числового ряда, суммы ряда. Свойства сходящихся рядов.

2. Числовые ряды с неотрицательными членами. Признаки сходимости:

· необходимый признак сходимости;

· признак сравнения рядов;

· признак Даламбера.

3. Знакопеременные ряды. Признак сходимости Лейбница. Абсолютная и условная сходимость ряда.

4. Функциональные ряды. Точки сходимости, область сходимости. Сумма ряда, остаток ряда.

5. Степенные ряды. Область и радиус сходимости степенного ряда. Ряды Тейлора и Маклорена.

6. Применение рядов в приближенных вычислениях.

Правила дифференцирования

Пусть u = u(x) и v = v(х) – непрерывные функции в точке х = х₀, тогда существуют производные от суммы, разности, произведения частного этих функций в заданной х₀.

· (u ± v)¢ = u¢ ± v¢

· (u × v)¢ = u¢ ×v + u × v¢

· (c × v)¢ = c × v¢

·

·

Производная сложной функции

Пусть у = f(u), а u = j(х), тогда у = f(j(х)) – сложная функция, ее производная находится по правилу дифференцирования сложной функции. Если каждая из функций у = f(u) и u = j(х) дифференцируема по своему аргументу, то

или

· Следует помнить, что производная постоянной равна нулю С^¢ = 0, а

производная переменной величины х равна единице, х^¢ = 1

Таблица производных основных элементарных функций и производных сложных функций

y = f(х)	y¢ = f¢(x)	y = f(u), u = j(х)	у¢ = f¢(u)×u¢
y = xa	(xa)¢ = a×xa-1	y = ua	y¢ = a×ua-1×u¢
		y =
y = ax	(ax )¢ = ax×lna	y = au	y¢ = au×lna×u¢
y = ex	(ex)¢ = ex	y = eu	y¢ = eu×u¢
y = logax	(logax)¢	y=logau
y = lnx		y = lnu
y = sinx	(sinx)¢ = cosx	y = sinu	y¢ = cosu×u¢
y = cosx	(cosx)¢ = -sinx	y = cosu	y¢ = -sinu×u¢
y = tgx		y = tgu
y = ctgx		y = ctgu
y = arcsinx		y = arcsinu
y = arccosx		y = arccosu
y = arctgx		y = arctgu
y = arcctgx		y = arcctgu

Решение типовых примеров

Найти производные данных функций.

1. ; y^'=?

По правилу дифференцирования сложной функции имеем

Использовано правило дифференцирования алгебраической суммы:

2.

Применим правило дифференцирования частного:

=

Итак,

3.

Применим правило дифференцирования произведения.

4. у = ln(arcsin8x); y¢ =?

Имеем y=lnu; где u=arcsin8x. Тогда

Дифференциал функции – понятие столь же часто используемое в математике как и производная.

Дифференциал функции у = f(х) в точке х₀ вычисляется по формуле

df(x) = f ¢(x₀)·dx или dy = y ¢·dx,

где dx – дифференциал аргумента, а у^¢ - производная функции, поэтому вычисление дифференциала функции сводится к технике нахождения ее производной.

5. Найти дифференциал функции у = arctg2х.

Тема 3. Исследование функции и построение графиков

Ø Литература

Забейворота В.И., Иванова В.Н., Завьялов О.Г.

Математика в экономике. Основы математического анализа. Учебное пособие. УрСЭИ, Челябинск, 2002.

Полное исследование функции y=f(x) и построение ее графика рекомендуется проводить по следующей схеме:

1. Найти область определения функции – множество значений аргумента, при которых функция имеет смысл D(x) = {x: y=f(x)}.

f(-x) = f(x) Þ функция четная: график симметричен относительно оси 0у.

f(-x) = -f(x) Þ функция нечетная: график симметричен относительноначала координат O(0;0).

функция общего вида (нет симметрии).

3. Установить характер точек разрыва функции (если они имеются) и исследовать поведение функции в бесконечности.

4. Найти асимптоты графика функции:

а). Bертикальные.

Вертикальные асимптоты проходят через точки бесконечного разрыва функции.. Если т. х₀ – точка бесконечного разрыва функции, т.е.

,

то х = х₀ – уравнение вертикальной асимптоты.

б). Наклонные.

Уравнение этих асимптот находят в виде y = kx + b.

Для правой ветви графика функции

Для левой ветви графика функции

Если k = 0, то y = b - уравнение горизонтальной асимптоты.

5. Найти экстремумы функции (max или min) и интервалы монотонности функции (возрастания, убывания).

Если на (а, b)

 

Если в окрестности критической точки 1 рода х₀ (эти точки ищут из условия y' = 0) первая производная функции меняет знак

с “-”на“+”Þ вх₀ – min, f(x₀) = f_min

с “+”на“-”Þ вх₀ – max, f(x₀) = f_max

6. Найти интервалы выпуклости и вогнутости функции и точки перегиба.

Если на интервале (а, b)

Если в окрестности критической точки 2 рода х₀ (эти точки ищут из условия :y ^"= 0) вторая производная функции меняет знак, то эта точка – точка перегиба:

7. Найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график:

с осью Оy: x =0 Þ y = f(0),

с осью Ох: y = 0 Þ f(x) = 0 – это уравнение решают только в случае, если онопростое.

8. По результатам исследования по пунктам 1-7 построить график данной функции.

 

Решение типовых примеров

 

Исследовать функцию и построить ее график.

1) Найдем область определения данной функции.

D(x)– множество всех действительных значений аргумента х- вся числовая ось:

2) Исследуем данную функцию на четность, нечетность и периодичность.

.

Имеем f(-x )≠ f(x), т.е. данная функция не является четной.

Кроме того, f(-x) ≠ -f(x), т.е. данная функция не является нечетной.

Таким образом, наша функция является функцией общего вида (нет симметрий). Функция не является периодической.

3) Исследуем характер точек разрыва функции и поведение функции в бесконечности.

Так как функция определена на всей числовой оси, то она всюду непрерывна и нет точек разрыва функции. Имеем

 

 

4) Найдем асимптоты графика функции.

Вертикальные.

Так как нет точек бесконечного разрыва функции, то нет вертикальных асимптот.

Наклонные асимптоты находим в виде y = kx + b.

Таблица результатов исследования

 

х	(-∞;-5)	-5	(-5;-3)	-3	(-3;-1)	-1	(-1;+∞)
y'	+		-		-		+
y"	-		-		+		+
	y	возрастает выпукла вверх Ç		убывает выпуклавверх Ç		убывает выпуклавниз È	-4	возрастает выпукла вниз È
			mах		Точка перегиба		min

 

График функции

 

 

 

 

Таблица результатов исследования

 

х	0	(0;1)	(1;+¥)
y'	0	+	+
y"		+	-
y	1	Возрастает, выпукла вниз	Возрастает, выпукла вверх
	min	È	Ç

 

График функции

Строим график для х≥0 и отражаем его симметрично относительно оси Оy.

y

 

 

-1 0 1 x

-1

 

Тема 4. Неопределенный интеграл

Ø Литература

Забейворота В.И., Иванова В.Н., Завьялов О.Г.

Математика в экономике. Основы математического анализа. Учебное пособие. УрСЭИ, Челябинск, 2002.

 

· Интегрирование является действием обратным по отношению к дифференцированию.

· Основными понятиями этой темы являются понятия первообразной и неопределенного интеграла.

 

· Если в некоторой области Х определены функции f(х) и F(х), то функция F(х) называется первообразной для функции f(х), если "хÎХ выполняется равенство:

F'(x) = f(x) или dF(x) = f(x)dx

· Совокупность всех первообразных F(х)+С для функции f(x) на промежутке X и называется неопределенным интегралом от функции f(х) на этом промежутке и обозначается символом

 

 

f(x) – подынтегральная функция;

f(x)dx – подынтегральное выражение;

х – переменная интегрирования;

dx – дифференциал переменной интегрирования;

F(х) – первообразная для функции f(x);

F(x)+C - множество (семейство) первообразных;

С = const - произвольная постоянная.

Таблица основных дифференциалов функции

 

df(x) = f¢(x)dx	f¢(x)dx = df(x)

 

Таблица основных интегралов

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.

 

Справедливость формул интегрирования, а также и каждый результат интегрирования можно проверить путем дифференцирования, т.к. интегрирование есть действие, обратное дифференцированию.

 

Основные методы интегрирования

Метод замены переменной

Пусть требуется вычислить интеграл

Предположим, что непосредственным интегрированием первообразную подобрать невозможно, тогда сделаем замену переменной в подынтегральном выражении x= j(t),

где j(t) - непрерывная функция с непрерывной производной, имеющая обратную функцию, и вычисление данного интеграла сведем к вычислению другого , более простого интеграла по переменной t:

Здесь подразумевается, что после интегрирования в правой части равенства вместо t будет подставлено выражение через х на основании равенства

x = j(t).

 

 

По определению дифференциала функции выражение j^¢(х)dx можно заменить dj(х), т.к. j^¢(х)dx = dj(х). Использование данных преобразований называют “подведением под знак дифференциала”.

 

Интегрирование по частям

При интегрировании по частям используют формулу

Эта формула интегрирования по частям чаще всего применяется к интегрированию выражений, которые можно так представить в виде произведения двух множителей u и dv, чтобы отыскание функции v по ее дифференциалу dv и вычисление интеграла ∫vdu составляли в совокупности задачу более простую, чем непосредственное вычисление интеграла ∫udv.

Обычно за u выбирается функция, которая при дифференцировании упрощается, а за dv выбирается множитель, содержащий dx, из которого интегрированием можно легко найти v.

 

Функции, интегрируемые по частям

 

Ø

где за u принимается u = P(x ) – многочлен целой степени.

 

Ø u = lnx, u = arccosx, u = arcsinx, u = arctgx, u = arcctgx.

 

Ø

 

Ø Формулу интегрирования по частям можно применять неоднократно.

 

 

Вычислить пределы

 

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

 

 

2. Задачи №31-60

 

Найти неопределенные интегралы

 

91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120

 

5. Задачи №121-150

 

а). Вычислить определенный интеграл

b). Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями

в). Вычислить несобственный интеграл 2 рода

г). Вычислить несобственный интеграл 1 рода

 

121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135		123456
	Последнее изменение этой страницы: 2016-06-09 lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда...