Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

· Линейными неоднородными дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами. называются уравнения вида

y" + py' + qy = f(x) (1),

где

р и q – произвольные постоянные,

f(x) – некоторая непрерывная функция.

Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения (1) находят в виде:

у = y₀ + y_част. ,

где

у₀ - общее решение соответствующего линейного однородного уравнения:

y" + py' + qy = 0 ,

y_част. - частное решение исходного неоднородного уравнения (1).

· Установлено, что если функция f(x) имеет вид: f(x ) = P_n(х)×е^aх, где P_n(х) – многочлен n степени, a-const, aÎR, то y_част находят в следующем виде:

1. Если число a не является корнем характеристического уравнения к²+рк+q=0, то

y_{част .}= Q_n(x)e^ax

2. Если a совпадает с одним из корней характеристического уравнения к²+рк+q=0 : a = k₁ или a = k₂, то

y_част.= x×Q_n(x)×e^ax

3. Если оба корняхарактеристического уравнения к² + рк + q = 0 равны a: k₁ = k₂ = a, то

y_част. = x²×Q_n(x)×e^ax

· Здесь Q_n(x) – многочлен степени n с неопределенными коэффициентами, которые в дальнейшем подлежат определению (см. примеры).

Решение типовых примеров

1. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения.

Данное уравнение не является уравнением с разделяющимися переменными вида y' = f₁(x)×f₂(y). Проверим, не является ли оно однородным дифференциальным уравнением первого порядка вида y' = f(x,y), где

f(lx,ly) = f(x,y):

т.е. исходное уравнение является однородным.

Введем замену:

Подставим в исходное уравнение:

Ø Разделим переменные:

Ø Проинтегрируем полученное уравнение с разделенными переменными:

Ø Найдем интеграл левой части уравнения:

Ø Найдем интеграл правой части уравнения:

.

Ø Приравняем найденные результаты:

Ø Используем свойства логарифмов:

.

Ø Потенцируем равенство:

Ø Подставим вместо получим

.

Ø Общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид:

,

где С – произвольная постоянная.

2. Найти частное решение однородного дифференциального уравнения второго порядка при заданных начальных условиях:

.

Составим для данного д. уравнения характеристическое уравнение:

k² - 6k + 8 = 0

Оно имеет два различных, действительных корня

k₁ = 2; k₂ = 4.

Тогда общее решение уравнения имеет вид:

y = C₁e^2x + C₂e^4x,

где С₁ и С₂ – произвольные постоянные.

Найдем производную общего решения у':

y' = 2C₁e^2x + 4C₂e^4x,

Используя начальные условия получим следующую систему уравнений:

Решаем систему относительно С₁ и С₂ найдем: С₁ = 1; С₂ = 0.

Подставим найденные значения С₁ и С₂ в общее решение, получим искомое частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

y = e^2x

3. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Общее решение данного уравнения находим в виде:

y = y₀ + y_част.

Ø Найдем общее решение у₀ соответствующего однородного дифференциального уравнения

Ø Составим характеристическое уравнение:

k² - k – 6 = 0 (3)

Найдем его корни: k₁ = -2; k₂ = 3 – действительные и различные, поэтому общее решение имеет вид:

,

где С₁ и С₂ – произвольные постоянные.

Ø Найдем частное решение уравнения (1).

Так как функция f(x) = (2x-1)e^2x имеет вид P_n(x)e^ax, где P_n(x) = 2x -1 – многочлен 1-ой степени и a = 2 не является корнем характеристического уравнения, то частное решение уравнения (1) запишем в виде:

y_част.= (Ax +B)e^2x (5)

где А и В – коэффициенты, подлежащие определению. Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.

Найдем y_ч' и y_ч"

и подставим их в уравнение (1):

4е^2х(Ах +А +В)- е^2х(2Ах + А +2В)-6е^2х(Ах + В) =(2х -1) е^2х;

Поделим обе части уравнения на е^2х :

4(Ах +А + В) - (2А + А + 2В) - 6(Ах +В) = 2х - 1 Þ

4Ах + 4А + 4В - 2Ах – А – 2В - 6Ах - 6В = 2х - 1 Þ

-4Ах+(3А-4В) = 2х-1 Þ - 4Ax = 2x ; 3A- 4B= -1.

Откуда следует, что коэффициенты А и В должны удовлетворять, следующей системе уравнений:

Решив ее, найдем А= -0,5; B= -0,125.

Ø Подставим найденные значения А и В в уравнение (5) и найдем частное решение:

Следовательно, общее решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка (1) имеет вид:

Тема 7. Ряды

Ø Литература

Забейворота В.И., Иванова В.Н., Завьялов О.Г.

Математика в экономике (Основы математического анализа). Учебное пособие. УрСЭИ, Челябинск, 2002

Пусть дана бесконечная числовая последовательность

a₁, a₂, a₃,,…,a_n, …= {a_n} (1)

которая считается заданной, если задана формула (закон), по которой вычисляется общий n-й (энный) член этой последовательности:

a_n = f(n), n = 1,2,3,…

· Под числовым рядом понимают бесконечную сумму членов заданной бесконечной числовой последовательности: