Главная Случайная страница


Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






Методы получения 1-го опорного решения.

В рассмотренном нами примере (п. 1.7.) с самого начала каноническая задача линейного программирования имела симплексную форму. Рассмотрим теперь на примере, как для произвольной задачи ЛП получить первую симплекс-таблицу.

Пример №1. Найти решение задачи:

(1)

I-ый способ решения.

Запишем задачу (1) в виде таблицы, подобной симплексной.

 
- 6 - 1 - 2 - 28  
(2)
 

 

Первые две строки фактически содержат матрицу ограничений, а последняя, индексная, строка определение функции . Конечно, таблица (2) не является симплексной. Во-первых, столбец свободных членов содержит отрицательный элемент (–28) в первой строке. Чтобы этого не было, умножим первую строку на (–1):

 
- 1  
(3)
 

 

Во-вторых, система ограничений не имеет разрешенного вида, то есть матрица ограничений в (3) не содержит единичной матрицы размера

Приведем систему в таблице (3) методом Гаусса к разрешенному виду, не нарушая при этом условие неотрицательности столбца свободных членов . Выберем, например, в качестве ведущего столбца столбец . Ведущую строку определим с помощью минимального допустимого отношения . Как обычно рамкой выделим ключевой элемент стоящий на пересечении ведущих строки и столбца.

 
- 1  
24 (4)
   

 

Методом Гаусса преобразуем ведущий столбец в базисный. Для этого:

1. из первой строки вычтем ведущую (вторую)

2. из индексной строки (третьей) вычтем ведущую вторую).

Получим новую таблицу:

 
- 3  
(5)
- 1  

 

Теперь выберем ведущим столбец и найдем ведущую строку с минимальным допустимым отношением:

 
- 3 4 (6)
 
- 1    

 

 

Преобразуем ведущий столбец в базисный. Для этого вычтем из второй и третьей строки ведущую (первую) строку. В результате получим таблицу:

 
- 3 (7)
 
- 3  

 

которая является симплексной. Действительно, матрица системы содержит единичную (если переставить столбцы ( ) и ( )), подматрицу размера ; столбец неотрицателен; функция F зависит только от свободных переменных и , что видно из того, что в индексной строке в столбцах базисных переменных и стоят нули.

Далее можно решить задачу описанным выше симплекс-методом. Это решение мы запишем в виде единой таблицы, состоящей из последовательно полученных симплекс-таблиц:

 

 
- 3 2  
 
- 3    
          (8)
   
- 3    
          -  
- 1 2  
           
           
           
           
           
           
           

 

 

Последовательность операций.

1. Выбираем ведущим второй столбец по элементу (–3) в индексной строке.

2. Находим минимальное отношение .

3. Выбираем ведущей первую строку.

4. Делим ведущую строку на ключевой элемент 2 (в рамочке), стоящий в ведущей строке

5. Вычитаем из второй строки ведущую, умноженную на 2.

6. Прибавляем к индексной строке ведущую, умноженную на 3.

7. Выбираем ведущим первый столбец по элементу в индексной строке.

8. Определяем ведущую строку с минимальным допустимым отношением .

9. Делим ведущую строку на ключевой элемент 8.

10. Прибавляем к первой строке ведущую, умноженную на .

11. Прибавляем к индексной строке ведущую, умноженную на .

В результате всех операций 1-11 мы из первой симплекс-таблицы (7) получаем последнюю симплекс-таблицу:

 
(9)
 
 

 

 

и из первого опорного решения

, (10)

получаем последнее опорное решение:

, (11)

которое оказывается оптимальным, поскольку в индексной строке таблицы (9) нет отрицательных элементов.

Пример № 1 решен.

Ответ:

Изложенный выше метод получения первого опорного решения основан на методе Гаусса и теореме о минимальном допустимом отношении.

2-ой способ решения.

Метод искусственного базиса.

Запишем задачу (1) в виде:

(12)

Рассмотрим вспомогательную задачу:

Ясно, что, если система ограничений (12) совместна, то решение задачи (13) существует и Очевидно, верно и обратное, то есть, если задача (13) имеет оптиальное решение и то система ограничений (12) имеет решение, причем полученное решение задачи (12) является опорным.

Задачу (13) нетрудно решить симплекс-методом.

Условие: , заменим равносильным:

Дальнейшее решение запишем в виде таблицы.

 

   
0 - 1     Первая таблица (не симплексная)
 
 
0 - 1     Вторая таблица (не симплексная)
 
- 6 - 1 - 2 - 28  
0 - 1     Третья таблица (симплексная)
- 1 - 10 - 2 - 3 - 52  
0 - 3 - 1   Далее решаем симплекс-методом
- 2 - 1 - 4  
- 3 - 1  
- 1  
    (14)
                           

 

Первая таблица не является симплексной, поскольку в базисных столбцах и в индексной строке вместо нулей стоят единицы. Вычитая из индексной строки сначала первую строку, а затем вторую строку, получаем третью таблицу, которая оказывается уже симплексной. Далее решаем задачу как обычно, симплекс-методом. Из последней симплекс-таблицы вспомогательной задачи находим оптимальное решение этой задачи:

Поскольку и , то равенства , , , дают нам первое опорное решение исходной задачи. Этому решению соответствует таблица:

 
- 3 (15)
 
 

 

Вычитая из последней (индексной) строки 1-ую строку, умноженную на 2, и 2-ую строку, получаем таблицу (7). Далее решение совпадает с изложенным ранее.

Последнее изменение этой страницы: 2016-08-11

lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда...