Залежність між лінійною й кутовою швидкістю.

Нехай ми маємо кутову швидкість ю точки, що рухається по колу. Визначимо, чому дорівнює лінійна швидкість цієї самої точки. В § 39 ми вивели формулу лінійної швидкості:

Підставивши в неї значення , дістанемо:

де — радіус круга, а число , тобто лінійна швид­кість дорівнює радіусові, помноженому на кутову швидкість. З цієї формули дістанемо:

тобто кутова швидкість в радіанах дорівнює лінійній швидкості, поділеній на радіус.

Запитання.

1. Що таке кутова швидкість?

2. Якими одиницями виміряється лінійна і кутова швидкість?

3. Яке співвідношення між лінійною і кутовою швидкістю?

4. Виразити радіанами кутову швидкість добового обертання Землі.

5. Обчислити лінійну швидкість точки екватора. (Вважати, що земної кулі дорівнює 6400км).

6. Обчислити лінійну швидкість точки земної кулі на широті .

Напрям швидкості тіла, що рухається по колу.

Ми знаємо, що швидкість є вектор, тобто величина, яка має напрям. При прямо­лінійному русі швидкість зображується стрілкою, напрямленою по лінії руху.

Подивимося, як зобразити вектором швидкість у будь-якій точці шляху при криволінійному, зокрема коловому, русі. Візьмемо камінь, прив'язаний до шнура, і почнемо його обертати (рис. 32). Камінь рухатиметься по колу. Якщо в певний момент ми випустимо з рук шнур або він увірветься, то камінь летить по дотичній лінії з тією швидкістю, яку він мав на колі (рис. 33).

Так само по дотичній до кола колеса летять грудки грязюки, відірвавшись від автомобільного або велосипедного колеса, іскри від гострильного каменя (рис. 34). Швидкість тіла, що рухається по колу, напрямлена по дотичній у даній точці кола.

Швидкість тіла, що рухається по колу, зображується вектором, дотичним до кола в даній точці (рис. 35).

При рівномірному русі по колу всі вектори швидкості рівні між собою величиною, але відмінні напрямом.

Доцентрове прискорення.

Повернемося до досліду з каменем, що обертається на шнурі. Увімкнувши між рукою і каменем пружинний динамометр, ми можемо вимірити величину сили взаємодії між каменем і рукою.

Сила, що удержує обертальне тіло на колі називається доцентровою силою. Через те, що швидкість тіла, яке рухається по колу, у різних точках кола має різні напрями, ми повинні зробити висновок, то швидкість тіла змінюється напрямом.

При переході точки з положення в положення (рис. 36) швидкість точки змінилася. У точці швидкість зображується вектором , у точці — вектором . Віднімаючи від вектора вектор (за правилом паралелограма), ми знайдемо зміну швидкості за час протягом якого точка перейшла з положення в положення . Поділивши добуту різницю на час, знайдемо прискорення під впливом доцентрової сили, або доцентрове прискорення.

Нехай точка, рухаючись рівномірно, перейшла з в пройшовши дуже малий шлях по дузі протягом часу (рис. 37). Швидкість у точці зобразиться вектором , у точці - вектором .

Величиною дорівнює тому, що рух по колу рівномірний, але і відмінні напрямом. Віднімаємо від вектора вектор за правилом паралелограма швидкостей.

Для цього переносимо у точку , дістаємо лінію і будуючи на , як на діагоналі, паралелограм, одна з сторін якого дорівнює знаходимо вектор що є різниця векторів і

Через те, що час і ми взяли надзвичайно малий, то дуга буде близька до хорди .

Вважаючи сектор за трикутник (через малу величину дуги ), бачимо, що трикутники і подібні, тому, що і рівні між собою, як кути з взаємно перпендикулярними сторонами.

З подібності трикутників виходить:

Позначимо приріст швидкості через шлях — через , величину вектора — буквою , — буквою ; підставивши ці позначення в пропорцію, маємо:

Через те що обертовий рух відбувається рівномірно, за час точка пройде шлях

Підставляючи значення у попередню формулу, отримаємо:

Звідки:

оскільки .

тобто прискорення при рівномірному русі по колу дорівнює квадратові швидкості точки, що рухається по колу, поділеному на радіус круга.

Щоб знайти напрям прискорення, розглянемо трикутник . Кут між напрямом швидкості і напрямом при­скорення , .

Що менший проміжок часу, за який змінюється швидкість, то менша дуга і кут . В міру зменшення кута кут на наближається до . В кожний даний момент прискорення перпендикулярне до швидкості, значить, доцентрове прискорення спрямоване по радіусу до центра круга.

Формула доцентрової сили.

Сила дорівнює масі, помноженій на прискорення: ; підставивши сюди замість його значення, дістанемо формулу доцентрової сили:

(1)

Величина доцентрової сили при сталій лінійній швидкості прямо пропорційна до маси тіла і обернено пропорційна до радіуса кола, по якому рухається тіло.

Приклад 1. Треба утримати на колі з радіусом на 1 м масу на 20 г, що рухається з швидкістю . Обчислити потрібну доцентрову силу. Розв'язання.

Величина доцентрової сили при сталій кутовій швидкості прямо пропорційна до маси рухомої частини та радіуса круга.

Ось чому для великих маховиків небезпечна велика кутова швидкість, маса маховика зосереджена, в основному, на ободі, радіус кіл, по яких рухаються частини великого колеса, дуже великий. Отже, потрібні чималі сили зчеплення, щоб утримати частини на колі. Якщо сили зчеплення будуть недостатні, то маховик може розлетітися на куски, які полетять по дотичних наслідком інерції.

Малі маховики та шківи можуть розвивати велику кутову швидкість без особливої небезпеки.

Відцентрова сила.

При коловому русі каменя, прив'язаного на шнурку, силою, що змушує камінь рухатись по колу, є натяг шнурка, що намагається скоротитися. Ця сила напрямлена до центра і є доцентрова сила.

Водночас ми помічаємо, що й на шнурок діє сила, яка розтягує його. Якщо шнурок не досить міцний, він може розірватись від дії на нього цієї сили.

Сила, що виникає під час руху тіла по колу, напрямлена на тіло, яке змушує перше відхилятися від прямолінійної путі, називається відцентровою силою.

Отже сила, що діє на шнурок у даному випадку, є сила відцентрова. За третім законом Ньютона дія і протидія рівні між собою. Через це відцентрова сила дорівнює доцентровій.

Доцентрова сила прикладена до тіла, що рухається по колу, а відцентрова — до «зв'язків», що удержують його на колі.

Наприклад, під час руху кульки всередині кільця (рис. 38) сила з боку кільця прикладена до кульки і є силою доцентровою. Своєю чергою кулька тисне на стінку кільця з силою , яка є силою відцентровою.

При повороті трамвая на заворотах рейки тиснуть на колеса, змушуючи вагон повертати до центра закруглення (сила доцен­трова). Колеса трамвая натискують за інерцією на рейки (сила відцентрова).

Розглянемо ряд технічних застосувань відцентрової сили.

а) Відцентровий насос. Так називається насос (рис. 39), яким піднімають воду на певну висоту, наприклад, у водо­провідний бак. Це є міцний кожух, всередині якого оберта­ється диск з отвором посередині і бічними каналами. Диск має велику кутову швидкість. Вода йде трубкою поблизу осі обертання, захоплюється диском і набуває дуже швидкого колового руху. А через те, що сили зчеплення між частинками води замалі для того, щоб ці частинки удержалися на колах, то ці частинки відлітають по дотичних у вертикальну трубу , прикріплену на периферії кожуха. Через велику швидкість вода може піднятись трубкою на чималу висоту. На рисунку стрілками показано напрям обертання колеса і рухи частинок води.

в) Сепаратор. Дія його базується на тому, що при коловому русі розділяються частинки: густіші частинки (з біль­шою масою) розміщуються на периферії, а менш густі - ближче до центра.

Молоко, що складається, як відомо, з найдрібніших краплинок жиру, змулених у розчині білків, молочного цукру та солей, наливають у посудину сепаратора (рис. 41) і починають швидко обертати, наслідком чого менш

густий жир (вершки) розміщується в центральній частині, а густіше одвіяне молоко — на периферичній, а потім кожна складова частина витікає з сепаратора окремими трубками і

Запитання та вправи.

1. Яке прискорення називають доцентровим?

2. Що таке доцентрова сила?

3. Як залежить доцентрове прискорення від радіуса: а) при сталій лінійній швидкості; б) при сталій кутовій швидкості?

4. Маховик робить . Як зміниться доцентрова сила, якщомаховик робитиме 2 ?

5. Обчислити, з якої висоти мусить спуститися велосипедист (рис. 42), щоб він перейшов верхню критичну точку «мертвої петлі» проходячи її коловим рухом. Радіус петлі 8м.