Поточечная аппроксимация табличных данных по методу наименьших квадратов(МНК).

Аппроксимация по МНК Степень близости

Пример решения задачи о колебаниях одно массовой системы на основе использования встроенной процедуры Rkadapt.

Разложение аппроксиматора по системе базисных функций. Сведение задачи аппроксимации к системе ЛАУ.

Возникает естественный вопрос, за счет чего же можно изменить значения критерия при аппроксимации. Очевидно, должна зависеть от параметров, варьируя которыми мы и будем менять ее вид.

Если представить график функции в виде проволоки, то изменяя эти параметры, мы будем по-разному изгибать эту проволоку.

Одним из естественных предположений для выбора функции является следующее:

- подбираемые варьируемые константы;

- набор неизменяющихся функций, называемых базисными.

Пусть мы имеем , тогда требование близости в среднеквадратическом смысле примет вид:

где

Найдем это выражение:

Получена система линейных уравнений:

где - симметричная матрица.

(1)

Уравнение (1) представляет собой функцию-аппроксиматор.

Необходимо определить на интервале , а в качестве критерия близости выбираем:

(2)

(3)

Введем обозначения:

(**)

(4)

(5)

Если сравнить (**) с формулой (*) (смотрите ранее), то заметим, что суммирование по точкам заменено интегрированием по отрезку. Понятно, что в программной реализации в лабораторной работе по точечному среднеквадратичному приближению достаточно заменить (*) на формулу (**).

Рассмотрим пример:

Пусть мы имеем функцию на интервале . Необходимо приблизить функцией .

Тогда система уравнений (4) примет вид:

Математическое моделирование механических колебательных систем со сосредоточенными параметрами .Системы с распределенными и сосредоточенными параметрами.

Пусть на эластичной ленте подвешен деформируемый груз:

Рис а – исходный объект , б – расчетная схема при выполнении упрощающих предположений, в- конечная расчетная схема.

При выполнении моделирования , исследователь всегда предполагает получить результаты с нужной ему степенью точности. Во многих ситуациях выполняются некоторые предположения, которые позволяют существенно упростить расчетную схему. Это в дальнейшем позволит значительно упростить саму модель ( ее уравнение, сократить требуемые компьютерные ресурсы для ее реализации).

Предположим что в нашем объекте справедливо следующее:1. Масса груза m>>m_ленты 2. Податливость ленты значительно > податливости груза, тогда можно считать ленту невесомой не обладающей инерцией, а груз недеформируемым. При этих предположениях можно использовать расчетную схему.

Б) Мы считаем, что вся масса сосредоточена в одной точке, а вся податливость сосредоточена в одном элементе - пружине с жесткостью k.Поэтому такие модели называются модели со сосредоточенными параметрами. Поведение таких объектов описывается либо системами алгебраическими уравнениями (линейными или нелинейными), либо системами ОДУ (если внешние нагрузки зависят от времени)

В том случае если указанные случаи не выполняются схема б не применима при этом перемещение каждой точки системы будут зависеть от всех других точек системы:

U=(x,y,z)

Неизвестными как видно являются функции нескольких переменных, а они входят системы ДУЧП (в частных производных)

Эта задача существенно сложнее модель получена со значительно большим числом неизвестных. Одним из способов решения таких задач является метод конечных элементов.

Пример использования разложения аппроксиматора по базисным функциям в виде мономов.

Пусть мы имеем функцию на интервале . Необходимо приблизить функцией .

Тогда система уравнений (4) примет вид: