Категории: ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Метод типа Рунге-Кутта для решения задачи Кошиy(x+h) = y(x) + Выполним замену переменной t=x t=x+h Введем три набора параметров ….. ….. ……………… A0,A1,…..Aq При помощи и наборов будем последовательно вычислять величины.
………..
Эти величины могут быть вычислены последовательно. Теперь при помощи параметров группы А составим линейную компбинацию.
Будем приближать величину т.е. Погрешность этого приближения обозначим . Разложим по формуле Тейлора
(1) Основная идея этого подхода в том, чтобы подобрать такие наборы ( ), которые обеспечили бы как можно лучшее приближение к составленной линейной комбинации. Это значит, что при произвольной функции f в выражении 1 как можно большее количество слагаемых в формуле Тейлора оказались =0 т.е. чтобы для как можно большего k. Методы 1-го порядка точности. Пусть q=0 тогда А0 тогда после вычисления y(x+h) y(x)+hf(x,y) Мы получим формулу метода Эйлера, это значит что частный случай метода Рунге-Кутта.
Использование встроенных функций для линейной аппроксимации по методу наименьших квадратов Vx и Vy – заранее сформированные массивы абсцисс и ординат . m:=slope(vx,vy) b:=interapt(vx,vy) x- Массив точек в который мы хотим вычленить mx+b
Связь модифицированных методов Эйлера и методов Рунге-Кута второго порядка для решения задачи Коши Методы второго порядка.q=1,∆y≈Ao*ϕо+Aо*ϕ1,в этой ситуации у нас есть параметры α1,β10,Ао,А1. Можно показать, что эти четыре величины оказываются связанными между собой следующей системой нелинейных уравнений : как видно количество уравнений меньше числа неизвестных ,это позволяет положить один из параметров равным какому-то значению, а остальные три определить через него α1= β10=1/2А1, Aо=1- A1, А1=1/2, Ао=1/2, α1= β10=1, ∆y≈Ao*ϕо+A1*ϕ1, ϕо=h*f(x,y), ϕ1=h*f(x+h,y+ ϕо), Пусть A1=1,A0=0, α1= β10=1/2, тогда ∆y≈ ϕ1, ϕо=h*f(x,y), ϕ1=h*f(x+h,y+ ϕо) это другая модификация метода Эйлера. Могут быть получены и др. формулы метода второго порядка, и как видно модификации метода Эйлера-частные случаи метода Рунге-Кутта. Приведем систему уравнений для методов 3-го порядка. q=2 A1+A2+A0=1, A1* α1+A2* α2=1, A1* α1+A2* α2=1/3, A2* α1* β21=1/6, β20+ β21= α2, β10= α1, ∆y≈1/6(ϕо+ 4* ϕ1+ ϕ2),где ϕо=h*f(x,y), ϕ1=h*f(x+h/2,y+ ϕо/2), ϕ2=h*f(x+h,y- ϕо + 2ϕ1), ∆y≈ ( ϕ0+3 ϕ2), ϕо=h*f(x,y), ϕ1=h*f(x+h/3,y+ ϕо/3), ϕ2=h*f(x+2/3*h,y- ϕо + 2/3*ϕ1)
Понятие о сплайнах Функция Sn,ν (x) – сплайн степени n дефекта ν, где n и ν - целые числа, если 1) на каждом из отрезков (xi, xi+1) из (a,b) функция Sn,ν (x) является полиномом степени n; 2) если Sn,ν (x) на всем интервале (a,b) имеет непрерывные производные до порядка n- ν включительно. Кусочные полиномы, образующие сплайн, называются звеньями, а условия непрерывности в узлах____ Рассмотрим сплайн 1-ой степени S1(x). Он представляет собой непрерывную кусочно-линейную функцию. На каждом из отрезков (xi, xi+1) он является полиномом 1-ой степени: S1 (x) = A0+A1∙x ν=1, т.е. непрерывной производной он не имеет. Уравнение сплайна: S1(x) = + ( ), xi i+1 hi =xi+1 – xi - шаг Для построения этого сплайна требуется только таблица (xi ,yi). Вычисление этого сплайна можно выполнять по следующему алгоритму: 1) определение tg угла наклона: tgαi = = и вычисляется S1 (x)= +Ui ∙ (x – xi ).
(xi+1,yi+1) Ui(x-xi) (xi,yi) α S1(x) yi
xi x xi+1 Сплайн 1-ой степени относится к семейству локальных сплайнов, т.к. для его построения необходима информация только об ограничивающих данный участок узлах. 20.1 Метод Рунге-Кута 4-ого порядка для решения задачи Коши формулы метода и их реализация в среде MathCad
; ___________________________________________________________________________
20.2 Определение сплайна. Дефект сплайна, пример линейного сплйна Функция Sn,ν (x) – сплайн степени n дефекта ν, где n и ν - целые числа, если 3) на каждом из отрезков (xi, xi+1) из (a,b) функция Sn,ν (x) является полиномом степени n; 4) если Sn,ν (x) на всем интервале (a,b) имеет непрерывные производные до порядка n- ν включительно. Кусочные полиномы, образующие сплайн, называются звеньями, а условия непрерывности в узлах____ Рассмотрим сплайн 1-ой степени S1(x). Он представляет собой непрерывную кусочно-линейную функцию. На каждом из отрезков (xi, xi+1) он является полиномом 1-ой степени: S1 (x) = A0+A1∙x ν=1, т.е. непрерывной производной он не имеет. Уравнение сплайна: S1(x) = + ( ), xi i+1 hi =xi+1 – xi - шаг Для построения этого сплайна требуется только таблица (xi ,yi). Вычисление этого сплайна можно выполнять по следующему алгоритму: 2) определение tg угла наклона: tgαi = = и вычисляется S1 (x)= +Ui ∙ (x – xi ).
(xi+1,yi+1) Ui(x-xi) (xi,yi) α S1(x) yi
xi x xi+1 Сплайн 1-ой степени относится к семейству локальных сплайнов, т.к. для его построения необходима информация только об ограничивающих данный участок узлах. |
||
Последнее изменение этой страницы: 2016-08-11 lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда... |