Главная Случайная страница


Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






Метод типа Рунге-Кутта для решения задачи Коши

y(x+h) = y(x) +

Выполним замену переменной

t=x

t=x+h

Введем три набора параметров

…..

…..

………………

A0,A1,…..Aq

При помощи и наборов будем последовательно вычислять величины.

………..

Эти величины могут быть вычислены последовательно. Теперь при помощи параметров группы А составим линейную компбинацию.

Будем приближать величину т.е.

Погрешность этого приближения обозначим . Разложим по формуле Тейлора

 

(1) Основная идея этого подхода в том, чтобы подобрать такие наборы ( ), которые обеспечили бы как можно лучшее приближение к составленной линейной комбинации. Это значит, что при произвольной функции f в выражении 1 как можно большее количество слагаемых в формуле Тейлора оказались =0 т.е. чтобы для как можно большего k.

Методы 1-го порядка точности.

Пусть q=0 тогда А0 тогда после вычисления

y(x+h) y(x)+hf(x,y) Мы получим формулу метода Эйлера, это значит что частный случай метода Рунге-Кутта.

 

 

Использование встроенных функций для линейной аппроксимации по методу наименьших квадратов

Vx и Vy – заранее сформированные массивы абсцисс и ординат .

m:=slope(vx,vy)

b:=interapt(vx,vy)

x- Массив точек в который мы хотим вычленить mx+b

 

Связь модифицированных методов Эйлера и методов Рунге-Кута второго порядка для решения задачи Коши

Методы второго порядка.q=1,∆y≈Ao*ϕо+Aо*ϕ1,в этой ситуации у нас есть параметры α1,β10,Ао,А1. Можно показать, что эти четыре величины оказываются связанными между собой следующей системой нелинейных уравнений :

как видно количество уравнений меньше числа неизвестных ,это позволяет положить один из параметров равным какому-то значению, а остальные три определить через него

α1= β10=1/2А1,

Aо=1- A1,

А1=1/2,

Ао=1/2,

α1= β10=1,

∆y≈Aoо+A11,

ϕо=h*f(x,y),

ϕ1=h*f(x+h,y+ ϕо),

Пусть A1=1,A0=0, α1= β10=1/2, тогда

∆y≈ ϕ1,

ϕо=h*f(x,y),

ϕ1=h*f(x+h,y+ ϕо) это другая модификация метода Эйлера.

Могут быть получены и др. формулы метода второго порядка, и как видно модификации метода Эйлера-частные случаи метода Рунге-Кутта. Приведем систему уравнений для методов 3-го порядка.

q=2

A1+A2+A0=1,

A1* α1+A2* α2=1,

A1* α1+A2* α2=1/3,

A2* α1* β21=1/6,

β20+ β21= α2,

β10= α1,

∆y≈1/6(ϕо+ 4* ϕ1+ ϕ2),где ϕо=h*f(x,y),

ϕ1=h*f(x+h/2,y+ ϕо/2),

ϕ2=h*f(x+h,y- ϕо + 2ϕ1),

∆y≈ ( ϕ0+3 ϕ2),

ϕо=h*f(x,y),

ϕ1=h*f(x+h/3,y+ ϕо/3),

ϕ2=h*f(x+2/3*h,y- ϕо + 2/3*ϕ1)

 

Понятие о сплайнах

Функция Sn,ν (x) – сплайн степени n дефекта ν, где n и ν - целые числа, если

1) на каждом из отрезков (xi, xi+1) из (a,b) функция Sn,ν (x) является полиномом степени n;

2) если Sn,ν (x) на всем интервале (a,b) имеет непрерывные производные до порядка

n- ν включительно.

Кусочные полиномы, образующие сплайн, называются звеньями, а условия непрерывности в узлах­­­____

Рассмотрим сплайн 1-ой степени S1(x). Он представляет собой непрерывную кусочно-линейную функцию. На каждом из отрезков (xi, xi+1) он является полиномом 1-ой степени:

S1 (x) = A0+A1∙x

ν=1, т.е. непрерывной производной он не имеет.

Уравнение сплайна:

S1(x) = + ( ), xi i+1

hi =xi+1 – xi - шаг

Для построения этого сплайна требуется только таблица (xi ,yi). Вычисление этого сплайна можно выполнять по следующему алгоритму:

1) определение tg угла наклона:

tgαi = =

и вычисляется S1 (x)= +Ui ∙ (x – xi ).

(xi+1,yi+1)

Ui(x-xi)

(xi,yi) α

S1(x)

yi

 

xi x xi+1

Сплайн 1-ой степени относится к семейству локальных сплайнов, т.к. для его построения необходима информация только об ограничивающих данный участок узлах.

20.1 Метод Рунге-Кута 4-ого порядка для решения задачи Коши формулы метода и их реализация в среде MathCad

;

___________________________________________________________________________

 

 

 

20.2 Определение сплайна. Дефект сплайна, пример линейного сплйна

Функция Sn,ν (x) – сплайн степени n дефекта ν, где n и ν - целые числа, если

3) на каждом из отрезков (xi, xi+1) из (a,b) функция Sn,ν (x) является полиномом степени n;

4) если Sn,ν (x) на всем интервале (a,b) имеет непрерывные производные до порядка

n- ν включительно.

Кусочные полиномы, образующие сплайн, называются звеньями, а условия непрерывности в узлах­­­____

Рассмотрим сплайн 1-ой степени S1(x). Он представляет собой непрерывную кусочно-линейную функцию. На каждом из отрезков (xi, xi+1) он является полиномом 1-ой степени:

S1 (x) = A0+A1∙x

ν=1, т.е. непрерывной производной он не имеет.

Уравнение сплайна:

S1(x) = + ( ), xi i+1

hi =xi+1 – xi - шаг

Для построения этого сплайна требуется только таблица (xi ,yi). Вычисление этого сплайна можно выполнять по следующему алгоритму:

2) определение tg угла наклона:

tgαi = =

и вычисляется S1 (x)= +Ui ∙ (x – xi ).

(xi+1,yi+1)

Ui(x-xi)

(xi,yi) α

S1(x)

yi

 

xi x xi+1

Сплайн 1-ой степени относится к семейству локальных сплайнов, т.к. для его построения необходима информация только об ограничивающих данный участок узлах.

Последнее изменение этой страницы: 2016-08-11

lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда...