Использование случайных величин при моделировании различных явлений и процессов

Если в к-1 явлении (процессе) присутствуют случайные величины, то оно называется стохастическим, в противном случае процесс называется детерминированным. Случайные величины могут использоваться как при моделировании стохастических явлений так при моделировании детерминированных. Основная идея обычно заключается в том, чтобы сконструировать такой умозрительный процесс поведение которого описывается теми же законами, которыми описывается поведение исходного процесса. Примером является решение задачи Бюффона (24.1)

Алгоритм «прогонка» для решения системы линейных уравнений с диагональным преобладанием.

Рассмотрим для определенности систему линейных уравнений для непериодического сплайна:

2M₁+M₂=C₁

aM₁+2M₂ +b₂M₃=C₂

...

a_n-1 ∙M_n-2+2M_n-1+b_n-1 ∙M_n=C_n-1

M_n-1+2M_n=C_n

Разрешим 1-ое уравнение относительно M₁:

M₁=p₁∙M₂+q₁ p₁₌ q₁=

Подставим M₁ во 2-ое уравнение и выразим M₂:

M₂= ∙ M₃+

p₂= q₂=

M₂= p₂∙ M₃+q₂

Продолжая процесс исключения и подставляя M_i-1= p_i-1∙ M_i+q_i-1 в уравнение

a_i ∙M_i-1+2Mi+b_i ∙M_i+1=C_i получим:

M_i = ∙ M_i+1 + , т.е. p_i и q_i равны:

p_i= _{-рекуррентные формулы для p иq. (1)}

q_i=

Продолжая этот процесс, получим для последнего уравнения:

M_n-1= p_n-1∙ M_n+q_n-1

M_n-1= -2M_n+C_n

Можно последовательно вычислить:

M_n= (2)

Далее можно последовательно вычислить:

M_n-1= p_n-1∙ M_n+q_n-1

M_n-2= p_n-2∙ M_n-1+q_n-2 (3)

и т. д.

Т.о. алгоритм «прогонка» состоит из двух частей: прямой и обратный ход.

В прямом ходе сначала задаем p₁ и q_1, затем по рекуррентным формулам вычисляем прогоночные коэффициенты.

Обратный ход: сначала по формуле (2) вычисляем M_n , а затем по формулам (3) вычисляют M_n-1, M_{n-2, …,} M_1.

Оказывается, метод «прогонка» не приводит к накоплению ошибок округления при вычислении. Такие методы называются численно устойчивыми.

Сформируем систему для случая периодического сплайна:

Из формул

M₁=M_n

a_i ∙M_i-1+2Mi+b_i ∙M_i+1=C_i , i=2,3,…,h-1.

M_n+1= M₂ (h_n=h₁)

при i=2, M₁=M_n получим:

2M₂+b₂M₃+ a₂ M_n=C₂

a₃ M₂+2M₃+ b₃ M_n=C₃

… (4)

a_n-1 M_n-2+2M_n-1+ b_n-1 M_n=C_n-1

b_n ∙M_n-2+a_n M_n-1+ 2 M_n=C_n

Эти уравнения аналогичны рассмотренному выше приему и их можно переписать:

M_i= p_i∙M_i+1 +r_i∙M_n+q_i , i=2,3,…,n-1 (5)

Прогоночные коэффициенты опять вычисляются по (1) при условии, что p_i= q_i=0:

r_i = ,r₁=1 (6)

Полагая M_i=U_i∙M_n+V_i , i=2,3,…,n-1.

U_i=p_i∙U_i+1+r_i

V_i=p_i∙V_i+1+q_i

U_n=1 V_n=0

M_n=

24.1 Задача Бюффона как пример использования случайных величин при решении детерминированной задачи.

В 18в. француз Граф Бюффон прадложил для вычисления с произволбным количеством знаков использовать наблюдение за следующим процессом.

Тонкая игла длинной 2l бросается случайным образом на поверхность разлинованную с шагом 2d.

Тогда ситуация пересечение иглы с линией будет соответствовать тому, что точка с координатой ( ) будет лежать в заштрихованной области.

Рассмотрим углы от 0 до в силу симметричности.

Таким образом рассмотрим прямоугольную область .

И рассмотрим область лежащая ниже , то вероятность возникновения пересечения будет равна отношению . В математическом плане если выбираем без предпочтения координату от 0 до и координату y из интервала , то это соответствует произвольной точки , и если выполняется условие , то точка будет находиться в точке .

Величины:

=

=

Тогда .

Как известно при увеличении следует что: , где есть частота появления события. n-кол-во опытов, m-кол-во пересечений иглы с линией

При увеличении n получаем значение с большим количеством знаков.

Реализация в Mathcad: runif(a,b,N) – выдаёт n случайных величин с равномерном законом распределения. На отрезке от 0 до W – rnd(W).

Алгоритм:

1.Задать число экспериментов n и ограничить цикл от 0 до n(что будет соответствовать n опытов).

2.Обращаемся к функции runif(0, ,N).

3.Генерировать случайные величины от 0 до t.

4.Проверить выполнения неравенства . Если выполняется то n+1.

5.После проверки используем функцию

Пример использования сплайна для приближенного интегрирования функции

25.1 Понятие о методах типа Монте-Карло.

В 1943г. в исследовательских лабораториях Лос- Анджелесе при разработки ядерной бомбы возникла задача об определении глубины проникновения электронов в заданное вещество. Решить её не удалось. Тогда Станислав Улом и Ждон фон Нейманом предложили подход основную стратегию, которую используют игроки при игре в кости. Эта стратегия была стратегия была основана на поведении случайных величин. По имени города- это метод получил название Монте – Карло. В дальнейшим по традиции многие методы стали называться метод Монте – Карло.

Изобразим схему метода.

Заметим, что этот подход может использоваться, как для моделирования явлений имеющих в своей основе поведение случайных величин (такие величины называются - стохастическими) так и для явлений процессов, где случайные величины не присутствуют (детерминированные).

Вычисление обьемов и площадей при использовании стандартных методов основанных на … сетки по каждому из измерений в каждом узле которой требуется вычисление подинтегральной фу-ии с увиличением размерности пространства к-во вычислений растет.Альтернативой является следующая возможность

Заключаем область Ω в n-мерный параллепипед ,который полностью ее содержит.Сгенерируем отдельную точку имеющую n координат которых

и получено на этом интервале без предпочтения,т.е. случайная велечина Xi имеет на своем интервале равномерное распределение.В среде маткад встроенная функция rnd(A) возвращает массив случайных величин из интервала [0,А],т.о.если мы хотим сгенерировать массив случ.величин из интервала [а,в], то нужно записать rnd(в-а).Заметим,что для того.чтобы выполнить эти вычисления необходимо1)иметь возможность найти по каждому измерению «низшую» и «высшую» точку области.2)уметь ответить на ворос попала ли точка со случайными координатами в область.

Фрагмент документа маткад:

ORIGIN:=1,

Ab(x,y):=x,

Cd(x,y):=y

X:=0,y=0,

f(x,y):=x-y +4

g(x,y):=x + y +x+y-25

Given

f(x,y)>0,

f(x,y)<0,

z:=Minimaze(AB,x,y)

a:=Ab(z1,z2)

b:=Ab(z1,z2)

b:=4.55

-описание процедуры,которая возвращает к-во точек из N сгенерированных и их координаты попавшие в нашу нужную область.