Период(п ) Процентна я ставк а (/)

ВОПРОС —ОТВЕТ

Ка к определит ь будущу ю (приведенную ) стоимост ь инвестици и примени ­ тельн о к промежутк у времени , содержащем у нецело е количеств о пе ­ риодо в (например , 1,25 года) ?

Это очень просто. Все, что от нас требуется, — изменить формулу для опре­ деления будущей (приведенной) стоимости, чтобы она включала десятичную дробь, Допустим, вы помещаете 1000 долл. на сберегательный счет под 6% годовых, начисляемых по методу сложных процентов, и хотите забрать свой вкладчерез 15 месяцев (т.е. через 1,25 года). Поскольку FVn =Р0 (1 + 0", то че­ рез 15 месяцев вы снимете со своего счета следующую сумму:

FV12 6 =$1000(1+0,Об)125 =$1075,55,

Неизвестная процентная (или дисконтная) ставка.Иногда, анализируя зависимость стоимости денег от времени, мы сталкиваемся с ситуациями, ко­ гда известны будущая и приведенная стоимости, а также количество интере­ сующих нас периодов времени. Однако мы не знаем, какая ставка применяет­ ся в данной ситуации для начисления сложных процентов.

Допустим, что, инвестировав сегодня 1000 долл., ровно через восемь лет вы получите 3000 долл. Ставку, которая используется в данной ситуации для на­ числения сложных процентов (или дисконтирования), можно найти, преобра­ зовав базовое уравнение для будущей (приведенной) стоимости. Воспользо­ вавшись, например, уравнением (3.5) для будущей стоимости, получаем:

Глава 3.Стоимость денег во времени 115

FVs=P0(FVIFiS)

$3000 = $1000(/УЩ 8 )

/=УЩ 8 =$3000/$100 0 = 3.

Просматривая в табл. 3.3 строку, соответствующую восьмилетнему перио­ ду, находим коэффициент будущей стоимости (FVIF), ближайший к вычис­ ленному нами значению — 3. Ближайшим к числу 3 значением коэффициента будущей стоимости является 3,059, которое мы находим в столбце, соответст­ вующем 15%. Поскольку 3,059 несколько больше, чем 3, мы приходим к выво­ ду, что процентная ставка в рассматриваемой ситуации на самом деле должна быть несколько больше 15%.

Чтобы получить более точный ответ, нам надо учесть то обстоятельство, что

(1 + г) 8 = 3

(1 + г) = 3 1 / 8 = 3 0 д 2 5 =1,1472

г = 0,1472.

(Примечание. Решая это уравнение относительно г, мы сначала должны возвести обе части уравнения в степень 1/8, или 0,125. Чтобы возвести 3 в степень 0,125, мы используем клавишу [ух]на карманном калькуляторе, вво­ дя 3, нажимая клавишу [ух],вводя 0,125 и, наконец, нажимая клавишу [=].)

Неизвестное количество периодов начисления сложных процентов (или дисконтирования).Иногда нам требуется знать, сколько понадобится времени, чтобы некоторая сумма, инвестированная сегодня, достигла определенной буду­

щей стоимости при заданной ставке начисления сложных процентов. Сколько, на­ пример, понадобится времени, чтобы инвестиция в размере 1000 долл. выросла до 1900 долл. при условии начисления сложных процентов с 10%-ной ставкой? По­ скольку нам известна будущая и приведенная стоимость данной инвестиции, ко­ личество периодов начисления сложных процентов (или дисконтирования), п, ис­ пользуемое в этой инвестиционной ситуации, можно определить, преобразовав ба­ зовое уравнение для будущей или приведенной стоимости. Воспользовавшись, например, уравнением (3.5) для будущей стоимости, получаем:

FVn=PQ(FVIFi0%n)

$1900 = $1000(iW 1 0 % „ )

FVIFiQ%n =$1900/$1000 = 1,9.

Просматривая в табл. 3.3 столбец, соответствуюпгий 10%, находим коэффици­ ент будущей стоимости (FVIF), ближайший к вычисленному нами значению — 1,9. Ближайшим к числу 1,9 значением коэффициента будущей стоимости является 1,949, которое мы находим в строке, соответствующей семилетнему периоду. По­ скольку 1,949 несколько больше, чем 1,9, мы приходим к выводу, что количество периодов начисления процентов в рассматриваемой ситуации на самом деле должно быть несколько меньше семи лет.

116 Часть II.Оценка активов

Чтобы обеспечить большую точность, представим FVIF10%n в виде (1 + 0,10)я и решим соответствующее уравнение относительно п:

(1 + 0,10)" =1,9

и(Ы,1 ) = Ы, 9

п = (In 1,9) /(I n 1,1) = 6,73 года.

Чтобы решить это уравнение относительно п, которое в преобразованном нами уравнении имеет вид показателя степени, воспользуемся маленькой хитростью. Мы берем натуральный логарифм (In) обеих частей нашего уравнения. Это позво­ ляет нам решить уравнение в явном виде относительно п. (Примечание. Чтобы разделить (In 1,9) на (In 1,1), мы следующим образом используем клавишу [LN]на карманном калькуляторе: вводим 1,9, нажимаем клавишу [LN],затем нажимаем клавишу [+]; после этого вводим 1,1, еще раз нажимаем клавишу [LN]и, наконец, нажимаем клавишу [=].)

Аннуитеты

Обычный аннуитет. Аннуитет (annuity) представляет собой ряд равных де­ нежных платежей (выплат или поступлений), совершающихся через равные про­ межутки времени (периоды). В случае обычного аннуитета (ordinary annuity) выплаты или поступления происходят в конце каждого периода. На рис. 3.3 пока­ зана последовательность денежного потока в случае обычного аннуитета на вре­ менной оси (временном графике, временной шкале).

Аннуитет (annuity)

Ряд равных денежных платежей (выплат или поступлений), совершающихся через равные промежутки времени (периоды). В случае обычного аннуитета (ordinary annuity) выплаты или денежные поступления происходят в конце каждого периода, а в случае срочного аннуитета (annuity due) выплаты или денежные поступления происхо­ дят в начале каждого периода.

Конец года

0 1 2 3

IIII

$1000 $1000 $1000

Рис. 3.3- Временная ось, на которой представлена последовательность денежных потоков для обычного аннуитета 1000 долл. за год в течение трех лет

Допустим, что рис. 3.3 отражает получение вами 1000 долл. каждый год в течение трех лет. Допустим также, что эту получаемую ежегодно тысячу вы помещаете на сберегательный счет под 8% годовых, начисляемых по методу сложных процентов. Сколько денег окажется у вас по истечении трех лет? От­ вет на этот вопрос представлен на рис. 3.4 (сложный способ); при этом мы ис­ пользовали лишь уже обсуждавшиеся нами инструменты.

Глава 3.Стоимость денег во времени 117

Ниже приведена формула для FVAn, представленная в алгебраическом виде (FVAn — будущая (сложная) стоимость аннуитета; R — периодическое денеж- ное поступление (или выплата) и п — продолжительность аннуитета):

= R[FVIFt^t +FVIFin_2 + ... + FVIFil+FVIFi0].

Как следует из этой формулы, FVAn равняется величине периодических де- нежных поступлений (R), умноженной на "сумму коэффициентов будущей стоимости денежных поступлений при i% для периодов времени от 0 до п - 1". К счастью, эту формулу можно представить в более компактном виде:

FVA=R £(1+оя = Д([(1+0 "-1]/0, (3.8)

или, что то же самое,

FVA„=R(FVIFAIM), (3.9)

где FVIFAin означает "коэффициент будущей стоимости аннуитета при процентах для п периодов".

СОВЕТ

Решая задачи, связанные с изменением стоимости денег во времени, бы- вает полезно вначале начертить временную ось и позиционировать на ней соответствующие денежные потоки, Такой подход позволяет сосредото- читься на сути решаемой задачи и сократить вероятность появления оши- бок. Когда мы приступим к обсуждению смешанных денежных потоков, та- кой подход окажется еще более актуальным.

Сокращенный перечень значений FVIFA приведен в табл. 3.5. Более пол- ный перечень значений FVIFA приведен в табл. II I Приложения.

Воспользовавшись табл. 3.5 для решения нашей задачи, представленной на рис. 3.4, получим:

FVA3=$1000(FVIFAS%3)

= $1000(3,246) = $3246

Этот ответ идентичен тому, который представлен на рис. 3.4. (Примечание. Использование таблицы вместо формулы приводит к незначительным ошиб- кам округления. Если бы мы воспользовались уравнением (3.8), наш ответ оказался бы на 40 центов больше. Таким образом, если требуется особая точ- ность, вместо таблиц следует пользоваться соответствующими формулами.)

118 Часть II.Оценка активов

Конец года

$1000 $1000 $1000

С начислением сложных процентов за 2 года

С начислением сложных процентов за 1 год

Без начисления сложных процентов

$1000 1080

Будущая стоимость обычного аннуитета при процентной ставке 8% за 3 года (FVA3) = $3246

Рис. 3.4. Вре ме ннаяось для вычисле ния будуще й (сложной) стоимости обычного аннуитета (пе риодиче ское поступле ние— R = 1000долл.;i = 8% ип=3года)

Таблиц а 3.5. Коэффициент ы будуще й стоимост и обычног о аннуитет а 1 долл . заодинперио д пр и /% дл я л периодо в(FVIFAln)

(.FVIFA,л)= £ (1 + /Г ' = ((1 + 0" -1) / /