Дерево вероятностей (probability tree)

Графический или табличный подход к организации возможных последовательностей денежных потоков, генерируемых инвестиционным предложением, Такое представ­ ление напоминает ветви дерева, Каждая полная ветвь ассоциируется с какой-то од­ ной из возможных последовательностей денежных потоков,

Один из способов решения этой задачи заключается в использовании де­ рева вероятностей (probability tree). Дерево вероятностей представляет собой графический или табличный подход к организации возможных последова­ тельностей денежных потоков, генерируемых в ходе реализации инвестици­ онного проекта. В этом случае мы указываем вероятные будущие денежные потоки рассматриваемого проекта в их взаимосвязи с результатами предыду­ щих периодов. Так мы можем учесть в нашем анализе корреляцию денежных потоков, относящихся к разным периодам времени. Если, например, оказыва­ ется, что рассматриваемый проект характеризуется хорошим (высоким) де­ нежным потоком в первый период, то имеются неплохие шансы,, что он будет характеризоваться хорошими денежными потоками и в последующие перио­ ды. Однако, несмотря на то что подобная связь между тем, что происходит один период, и тем, что происходит в последующие периоды, наблюдается достаточно часто, мы все же не можем быть полностью уверены в ней. Если считается, что денежные потоки в разные периоды времени никак не связаны между собой, то мы просто указываем распределение вероятностей величин денежных потоков в разные периоды времени. Если такая взаимосвязь все же существует, ее обязательно следует учитывать.

При использовании дерева вероятностей мы пытаемся представить ход бу­ дущих событий. На рис. 14.3 показано дерево вероятностей для проекта, рас­ считанного на два периода. Каждая полная ветвь представляет одну возмож­ ную последовательность денежных потоков. Для каждой из девяти ветвей, по­ казанных на этом рисунке, денежные потоки и соответствующие им вероятности пронумерованы. Из рисунка видно: если результат за период 1 очень хороший (мы оказываемся на 500-долларовой ветви), это приводит нас к совершенно иной совокупности возможных результатов за период 2 (800, 500 или 200 долл.), чем в случае, если бы период 1 оказался для нас очень небла­ гоприятным (когда мы оказываемся на ветви, соответствующей -100 долл.). Следовательно, в момент времени 0 дерево вероятностей представляет нашу наилучшую оценку того, что, видимо, произойдет в будущем, если за основу берутся более ранние события (имевшие место в предшествующие периоды).

Глава 14. Риск и управленческие опционы. 623

Рис. 14.3. Графическое представление дерева вероятностей, свидетельствующее о том, что денежные потоки за второй год умеренно коррелированы с денежнььчи потоками за первый год; например, вероятнее (но не гарантировано), что у нас будет хороший денежный поток за второй год, если отмечался хоро­ ший денежный поток за первый год

Д Л Я первого периода величина денежного потока не зависит от того, что происходило раньше. Следовательно, вероятность, связанную с начальным участком каждой полной ветви, называют начальной вероятностью {initial probability). Однако величина денежного потока за второй период зависит от того, что происходило раньше. Следовательно, вероятности, связанные с по­ следующими периодами, называют условными вероятностями {conditional probabilities). Наконец, совместная вероятность (joint probability) представ­ ляет собой вероятность возникновения какой-то конкретной последователь­ ности денежных потоков. Чтобы проиллюстрировать эти понятия, обратимся к нашему примеру проекта, рассчитанного на два периода.

Допустим, что мы изучаем возможность реализации инвестиционного проек­ та, представленного на рис. 14.3 (этот проект требует первоначальных инвести­ ций в размере 240 долл.). Учитывая результирующий денежный поток за пер­ вый год в размере 500 долл., условная вероятность того, что за второй год мы получим 800 долл., равняется 40% (вероятность того, что денежные поступле­ ния составят 500 долл. равняется 40%, а вероятность того, что денежные посту­ пления составят 200 долл., — 20%). Совместная вероятность того, что денежные поступления за первый год в размере 500 долл. будут сопровождаться денеж­ ными поступлениями за второй период в размере 800 долл. (т.е. вероятность пу­ ти, денежные потоки которого выделены жирным шрифтом, или ветви 1), пред­ ставляет собой произведение начальной вероятности на соответствующую ус­ ловную вероятность: 0,25 х 0,40 = 0,10 (см. табл. 14.1).

624 Часть V. Инвестиции в основной капитал

Аналогично этому совместная вероятность того, что денежный поток за первый год в размере 500 долл. будет сопровождаться денежным потоком за второй период в размере 500 долл., равняется 0,25 х 0,40 = 0,10, а совместная вероятность того, что денежный поток за первый год в размере 500 долл. будет сопровождаться денежным потоком за второй период в размере 200 долл., равняется 0,25 х 0,20 = 0,05. Если величина денежного потока за первый год равняется 200 долл., тогда вероятность того, что денежный поток за второй период составит 500 долл., равняется 0,20; 200 долл. — 0,60; а минус 100 долл. — 0,20. Точно так же мы можем вычислить совместные вероятности для трех полных ветвей, показанных на этом рисунке. Они равняются соответст­ венно 0,10, 0,30 и 0,10. Аналогично можно определить совместные вероятно­ сти для последней совокупности из трех полных ветвей, где чистый денежный поток за первый год равняется -100 долл.

Таблица 14.1. Табличное представление дерева вероятностей*

'Начальные инвестиции в момент времени 0 составляют 240 долл.

Вычисление приведенной стоимости при безрисковой ставке. В преды­ дущей главе мы вычисляли единственное значение чистой приведенной стоимо­ сти для каждого проекта, дисконтируя денежные потоки с использованием тре­ буемой минимальной ставки доходности, которая "корректировала" будущие денежные потоки как с учетом зависимости стоимости денег от времени, так и с учетом риска. Однако, используя дерево вероятностей, мы пытаемся собрать информацию по всему распределению вероятностей различных величин чистой

Глава 14. Риск и управленческие опционы. 625

приведенной стоимости. На этой стадии мы не станем делать "поправку на риск", а просто выявим степень этого риска. Таким образом, мы выполняем дис­ контирование различных денежных потоков до их приведенной стоимости при безрисковой ставке (risk-free rate). Эту ставку мы используем потому, что в под­ ходе, основанном на дереве вероятностей, путем дисконтирования мы пытаемся отмежеваться от фактора зависимости стоимости денег от времени и анализиру­ ем отдельно фактор риска. Включение "надбавки за риск" в ставку дисконтиро­ вания — применительно к данному методу — приведет к двойному учету риска. Сначала мы вводим поправку на риск в процессе дисконтирования, а затем — еще раз — при анализе дисперсии распределения вероятностей возможных ве­ личин чистой приведенной стоимости. Именно поэтому в процессе дисконтиро­ вания следует использовать понятие безрисковой ставки.

Вернемся к нашему примеру. Ожидаемое значение распределения вероят­ ностей возможных величин чистой приведенной стоимости вычисляется по формуле

1 = 1

где NPVj — чистая приведенная стоимость, вычисленная при безрисковой ставке для i'-й последовательности денежных потоков (полная ветвь денежного пото­ ка i), Pt — совместная вероятность возникновения этой последовательности де­ нежных потоков, z — общее количество полных последовательностей денежных потоков (или ветвей). В нашем случае имеется девять возможных последова­ тельностей чистых денежных потоков, поэтому 2 = 9. Первая последователь­ ность (ветвь) представлена чистым денежным потоком, равным -240 долл. в момент времени 0, 500 долл. — за первый год и 800 долл. — за второй. Совме­ стная вероятность возникновения этой последовательности денежных потоков равна 0,10. Если безрисковая ставка, которую мы используем в качестве ставки дисконтирования, равняется 8%, то чистая приведенная стоимость этой кон­ кретной последовательности денежных потоков будет равняться:

$500 $800 _ $240 = $909. (1 + 0.08)1 (1 + 0,08)2

Вторая последовательность денежных потоков будет представлена чистым денежным потоком, равным -240 долл. в момент времени 0, 500 долл. — за первый год и 500 долл. — за второй год. Чистая приведенная стоимость этой последовательности денежных потоков составит:

Точно так же можно определить величины чистой приведенной стоимости для семи других последовательностей денежных потоков. Если эти величины умножить на соответствующие им совместные вероятности возникновения (последний столбец в табл. 14.1), а затем просуммировать, получим ожидае­ мое значение чистой приведенной стоимости (с учетом распределения веро-

626 ЧастьV. Инвестиции в основной капитал

ятностей возможных величин чистой приведенной стоимости), округленное до ближайшего целого числа. Соответствующие вычисления представлены в табл. 14.2, из которой следует, что ожидаемое значение чистой приведенной стоимости равняется 116 долл.

Важно отметить, что положительное ожидаемое значение чистой приве­ денной стоимости ( NPV ) нельзя использовать как очевидное свидетельство приемлемости соответствующего проекта. Это объясняется тем, что мы еще не сделали поправку на риск. По той же причине ожидаемое значение чистой приведенной стоимости не свидетельствует об увеличении стоимости фирмы, если бы рассматриваемый проект был принят. Правильное значение NPV, ко­ торое можно использовать для этой цели, требует, чтобы ожидаемые денеж­ ные потоки для каждого периода были дисконтированы с необходимой мини­ мальной ставкой доходности, в которой учитывался бы риск инвестиционного проекта.

Вычисление стандартного отклонения. Стандартное отклонение рас­ пределения вероятностей возможных величин чистой приведенной стоимо­ сти, aNPV, можно определить по формуле

J2(NPVi-NPV)2(Р^ . (14.4)

Приведенные выше определения переменных остаются в силе. Стандарт­ ное отклонение для нашего примера равно:

Таблица 14.2. Вычисление ожидаемого значения чистой приведенной стоимости для рассматриваемого примера

Средневзвешенное = 116 долл. =

NP V

Глава 14. Риск и управленческие опционы. 627

+(394 -116) 2(0,05) + (374 -116)2(0,10)

+(117 -1 1 б) 2 (0,30) + (-141 -1 1 б) 2 (0,10)

+(-16 1 -116) 2 (0,05) + (-418 -116) 2 (0 Д 0)

+(-676-116) 2 (0,10)f 5 =[$197,277f 5 =$444

Округляя полученный результат до ближайшего целого числа, получаем ожи­ даемое значение чистой приведенной стоимости нашего проекта, равное 116 долл., и стандартное отклонение, равное 444 долл. Несмотря на то что вычисление средне- квадратического отклонения в простейших случаях особой проблемы не представ­ ляет, этого нельзя сказать о более сложных ситуациях. Тогда на помощь может прийти имитационное моделирование, которое позволяет получить приближенное значение среднеквадратического отклонения.

Подход, основанный на имитационном моделировании

Рассматривая возможность рискованных инвестиций, можно также восполь­ зоваться имитационным моделированием для поиска приближенных величин ожидаемого значения (математического ожидания) чистой приведенной стоимо­ сти, ожидаемого значения IRR инвестиций или ожидаемого значения коэффици­ ента прибыльности, а также отклонения от ожидаемого значения. Под имитаци­ онным моделированием (simulation) мы понимаем проверку (тестирование) воз­ можных результатов реализации инвестиционного предложения еще до того, как оно будет принято. Само это тестирование основывается на некоторой модели в сочетании с соответствующей вероятностной информацией. Используя имита­ ционную модель, впервые предложенную Дэвидом Герцем, можно учесть, напри­ мер, перечисленные ниже факторы, которые оказывают влияние на последова­ тельность денежных потоков рассматриваемого проекта2.

Анализ рынка

1. Величина рынка.

2. Продажная цена.

3. Темпы роста рынка.

4. Доля рынка (от которой зависят физические объемы продажи).

Анализ инвестиционных затрат

5. Требуемые инвестиции.

6. Продолжительность жизненного цикла производственных мощностей. 7. Остаточная стоимость инвестиций.

David В. Hertz, "Risk Analysis in Capital Investment", Harvard Business Review 42 (January-February 1964), p. 95-106.

628 Часть V. Инвестиции в основной капитал