Решите задачу линейного программирования графическим методом.

f=2x1+x2→min,

x1, x2 0,

2x1+3x2 6,

2x1+x2 4,

x1 1,

x1-x2 -1,

2x1+x2 1.

1) 2*x1 + 3*x2 = 6

2) 2*x1 + x2 = 4

3) x1 = 1

4) x1 – x2 = -1

5) 2*x1 + x2 = 1

Построим графики всех функций и найдем область, которую они ограничивают.

grad: (0,0) : (2,1).

Точка находится на пересечении 1 и 3 уравнений.

Решим систему:

2*x1 + x2 = 1

x2 = 0

x1 = 0.5

x2 = 0

f(max) = 2*0.5 + 0 = 1.

Проверим на Maple.

> with(plots);

> inequal({2*x1+3*x2<=6, 2*x1+x2<=4, x1<=1, x1-x2>=-1, 2*x1+x2>=1, x1>=0, x2>=0}, x1=-5..5, x2=-5..5, optionsfeasible=(color=blue),optionsexcluded=(color=white));

> with(simplex);

> minimize(2*x1+x2, {2*x1+3*x2<=6, 2*x1+x2<=4, x1<=1, x1-x2>=-1, 2*x1+x2>=1}, NONNEGATIVE);

БИЛЕТ №13

Метод производящих функций. Бином Ньютона . Основные тождества с биномиальными коэффициентами.

В комбинаторике производящая функция последовательности { } — это формальный степенной ряд.

Зачастую производящая функция последовательности чисел является рядом Тейлора некоторой аналитической функции, что может использоваться для изучения свойств самой последовательности. Однако, в общем случае производящая функция не обязана быть аналитической. Например, оба ряда

и

имеют радиус сходимости ноль, то есть расходятся во всех точках, кроме нуля, а в нуле оба равны 1, то есть как функции они совпадают; тем не менее, как формальные ряды они различаются.

Производящие функции дают возможность просто описывать многие сложные последовательности в комбинаторике, а иногда помогают найти для них явные формулы.

Метод производящих функций был разработан Эйлером в 1750-х годах.

Свойства

1.Производящая функция суммы (или разности) двух последовательностей равна сумме (или разности) соответствующих производящих функций.

2.Произведение производящих функций и последовательностей {an} и {bn} является производящей функцией свёртки этих последовательностей:

.

Бино́м Нью́то́на — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид

Где — биномиальные коэффициенты, n — неотрицательное целое число.

Доказательство

Докажем это равенство индукцией по n:

База индукции: n = 1

Шаг индукции: Пусть утверждение для n верно:

Тогда надо доказать утверждение для n + 1:

Начнём доказательство:

Извлечём из первой суммы слагаемое при k = 0

Теперь сложим преобразованные суммы:

Что и требовалось доказать.

В математике биномиальные коэффициенты — это коэффициенты в разложении бинома Ньютона по степеням x. Коэффициент при обозначается (иногда ) :

Тождества

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

2. Дидактические требования к современному року

Реализация на уроке дидактических принципов. Вовлечение учащихся в постановку целей урока.

Постановка целей урока и определение системы задач, обеспечивающих ее достижение.

Формирование учебного материала с учетом потребностей и возможностей учащихся (коррекция, расширение, углубление).

Опора при изучении нового учебного материала на наличный опыт учащихся (знания, умения, навыки, привычки, отношения).

Соразмерность теоретической и практической насыщенности, направленности урока (теоретический и практических знаний, умений, навыков, задач)

Рационализация учебной деятельности, развитие и формирование общих учебных знаний, умений, навыков, привычек (компетентностей учебного назначения).

Использование стандартизированных форм представления учебного материала (структурно-логические схемы, опорные конспекты, фреймы), обеспечивающие сжатие учебной информации.

Реализация на основе принципа компенсации междисциплинарных учебных программ.

Выбор типа урока с учетом логики изучения учебной темы.

Выбор структуры урока адекватный типу урока.

Выбор средств и методов адекватных цели урока, его структуре.

Соразмерность репродуктивных (объяснительно-иллюстративный, репродуктивный), проблемного изложения и продуктивных (частично-поисковый, исследовательский) методов обучения.

Сочетание наглядно-образных, предметно-действенных и словестно-логических способов предъявления (усвоения) учебного материала.

Оптимальное сочетание фронтальных, групповых, парных, персонифицированных и коллективных форм организации учебной деятельности.

Повышение плотности урока (информативной, мыслительной, деятельностной).

Рациональное использование технических средств обучения, в том числе компьютеров.

Соразмерность учебного материала, изучаемого непосредственно на уроке и в форме домашнего задания.

Организация систематического повторения в различных формах (актуализация, входное, текущее, итоговое).

Организация на уроке обобщения и систематизации изученного учебного материала. Непрерывная активизации учебной деятельности учащихся. Систематическое использование межпредметных связей на уроке. Реализация воспитывающей функции обучения на уроке.

Оптимальное сочетания контроля, самоконтроля и взаимоконтроля для изучения уровня усвоения на уроке учебного материала.

Непрерывная ликвидация пробелов и недочетов в знаниях, умениях, навыках, привычках учащихся.

Управление ходом урока: распределение внимания; регулирование темпа учебной деятельности (говорение, чередование заданий, интенсивность дидактического взаимодействия и т.п.), осуществление обратной связи, коррекция хода урока (педагогическая импровизация).

Соблюдение единого орфографического режима